Ознаки порівняння рядів

Теорема 2.2. Нехай подано два ряди:

(2.1)

(2.2)

причому . Тоді із збіжності ряду (2.2) витікає збіжність ряду (2.1), а з розбіжності ряду (2.1) витікає розбіжність ряду (2.2).

Теорема 2.3. Якщо подано два ряди та ( і існує кінцева границя , то ряди в розумінні збіжності поводяться однаково.

Зауваження 1. У загальному випадку ряд геометричної прогресії збігається, якщо й розбігається, якщо .

Зауваження 2. Узагальнений гармонійний ряд збігається, якщо і розбігається, якщо .

Приклад1.

Дослідити на збіжність ряд

(2.3)

Для порівняння вибираємо гармонійний ряд

Так як , то ряд (2.3) розбігається.

Приклад2.

Дослідити на збіжність ряд

Для порівняння візьмемо ряд - збігається, тому що ;

, ;

За теоремою 2.3 даний ряд теж збігається.

Приклад3.

Дослідити на збіжність ряд

Для порівняння візьмемо ряд - розбігається, тому що ; , ;

За теоремою 2.3 даний ряд теж розбігається.

2.3 Ознаки Даламбера і Коши (радикальна)

Теорема 2.4. (ознака Даламбера).

Якщо дано ряд ( і існує кінцева границя відношення наступного члена до попереднього при необмеженому зростанні номера, тобто , то при <1 ряд збігається, а при >1 – розбігається (при =1 нічого сказати не можна про збіжність, потрібні додаткові дослідження).

Теорема 2.5. (радикальна ознака Коши).

Якщо дано ряд ( і існує кінцева границя , то при <1 ряд збігається, а при >1 – розбігається (при =1 нічого сказати не можна про збіжність, потрібні додаткові дослідження).

Приклад1.

Дослідити на збіжність ряд

Для даного ряду

;

Тоді

Так як >1, ряд розбігається за ознакою Даламбера.

Приклад2.

Дослідити на збіжність ряд

Для даного ряду

;

Тоді

Так як <1, то ряд збігається за ознакою Даламбера.

Приклад3.

Дослідити на збіжність ряд

Для даного ряду

;

Тоді

Так як <1, то ряд збігається за радикальною ознакою Коши.

Приклад3.

Дослідити на збіжність ряд

Для даного ряду

;

Тоді

Так як >1, то ряд розбігається за радикальною ознакою Коши.

Дата добавления: 2015-11-14