Ряди тейлора й маклорена

Розклад функції в ряд Тейлора

Якщо функція нескінченно диференційована в точці , то її в околиці цієї точки можна представити степеневим рядом, який називають рядом Тейлора:

(5.1)

Зокрема, при =0 одержуємо ряд Маклорена:

(5.2)

Розклад в ряд Маклорена функцій , , , , називають основними розкладами:

= ,

= ,

= ,

,

,

,

,

Якщо потрібно розкласти в ряд Тейлора довільну функцію, то можна скористатися формулами (5.1) і (5.2). Однак для багатьох функцій розклад в ряд Тейлора або Маклорена можна одержати, користуючись відомими розкладами елементарних функцій.

Приклад1. Розкласти в ряд Тейлора в околиці точки функцію .

Рішення.

Скористаємося Формулою (5.1)

, , , ,

, …, , …

, , , ,

, …, , …

збігається, якщо -1< <1, тобто (0; 2) – інтервал збіжності.

Приклад2 Розкласти в ряд Тейлора в околиці точки (ряд Маклорена) функцію

Рішення.

Скористаємося біноміальним рядом

.

Приклад3. Представити у вигляді степеневого ряду (ряду Маклорена) функцію .

Рішення.

- інтервал збіжності.

ЗАСТОСУВАННЯ СТЕПЕНЕВИХ РЯДІВ ДО НАБЛИЖЕНИХ ОБЧИСЛЕНЬ

Дата добавления: 2015-11-14