Степеневі ряди. Інтервал збіжності

Визначення 3. Степеневим рядом називається функціональний ряд виду

(4.3)

де , , , …- постійні числа, які називаються коефіцієнтами ряду.

Області збіжності степеневих рядів описуються наступною теоремою.

Теорема 4.1. (Теорема Абеля) Якщо степеневий ряд (4.3) збігається при деякому = , те він збігається абсолютно при всіх значеннях , для яких .

Якщо ряд (4.3) розбігається при = , то він розбігається при всіх значеннях , для яких

Теорема Абеля приводить до наступного твердження: існує таке , що при ряд (4.3) розбігається, при - збігається, а поведінка ряду при підлягає подальшому аналізу. Множина значень змінної , задовольняючому співвідношенню називається інтервалом збіжності ряду (4.3), а число R – радіусом збіжності цього ряду.

Радіус збіжності статечного ряду можна знаходити по формулі

(4.4)

Приклад1. Визначити інтервал збіжності степеневого ряду й дослідити збіжність ряду на кінцях інтервалу.

Складемо ряд з модулів і дослідимо його за ознакою Даламбера

Для даного ряду

;

Тоді

Даний ряд збігається абсолютно, якщо <1, тобто <1;

, - радіус збіжності.

Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу, тобто при

розбігається як гармонійний ряд

даний ряд не збігається абсолютно. Застосовуючи ознаку Лейбниця, одержимо, що ряд збігається умовно.
Таким чином, ряд збігається на проміжку .

Приклад2. Визначити інтервал збіжності степеневого ряду й дослідити збіжність ряду на кінцях інтервалу.

Складемо ряд з модулів і дослідимо його за ознакою Даламбера

Для даного ряду

;

Тоді

Даний ряд збігається абсолютно при будь-яких значеннях .Таким чином, область збіжності даного ряду

Дата добавления: 2015-11-14