Розкладання в ряд Фур'є парних й

непарних функцій періоду 2π

Ряд Фур'є парної функції, тобто задовольняючій умові = , не містить членів із синусами. Цей ряд має вигляд:

~ (7.4)

де

, (7.5)

Якщо - непарна функція, тобто задовольняє умові = =- , то її ряд Фур'є не містить вільного члена й членів з косинусами. Цей ряд має вигляд:

~ , (7.6)

де = (7.7)

Приклад2. Розкласти в ряд Фур'є функцію з періодом 2π, яка задана рівністю .

Розв’язання.

Ця функція парна, її графік симетричний відносно осі Оу (див. рис.7.2)

4π -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π

Рисунок 7.2.

Обчислимо коефіцієнти Фур'є для цієї функції.

;

Ряд Фур'є цієї функції має вигляд:

~ .

Тому що всюди безперервна, кусочно-монотонна й обмежена, те її ряд Фур'є сходиться при всіх і сума ряду дорівнює .

7.3. Розкладання в ряд Фур'є функцій з періодом 2 ℓ

Якщо функція періодична з періодом 2ℓ (ℓ - будь-яке дійсне число) і інтегрована на відрізку [-ℓ;ℓ], то ряд Фур'є цієї функції має вигляд:

~ ,

де

, ,

Якщо, зокрема, парна, то

, , =0.

Якщо непарна, то

, =0, =0

Приклад3. Розкласти в ряд Фур'є функцію з періодом 2ℓ=4, задану на інтервалі-періоді (-2;2) рівністю .

Розв’язання.

Графік цієї функції симетричний відносно початку координат (рис. 7.3.) Функція непарна.

Рисунок 7.3.

Для цієї функції =0, =0

Функції відповідає ряд Фур'є виду:

~ .

Сума ряду в точках безперервності функції дорівнює , у точках =0.

Дата добавления: 2015-11-14