Означення невластивих інтегралів першого і другого роду. Збіжність невластивого інтеграла від невід’ємної функції.

Означення (невластивого інтеграла першого роду від обмеженої функції по необмеженому проміжку інтегрування):

Припустимо, що

1) , ;

2) , де ( обмежена на ).

Наступну границю називають невластивим інтегралом першого роду і позначають .

(Символ називають особливою точкою невластивого інтеграла). Якщо ця границя існує і скінченна, тоді інтеграл називають збіжним. У випадку, коли вона дорівнює нескінченості або не існує, інтеграл називають розбіжним.

Подібно ,

.

В останньому випадку інтеграл збігається, якщо обидві границі існують і скінченні.

Головним значенням (valeur principale) називають

.

Приклад 10. Дослідити на збіжність , де .

■ Згідно з означенням:

При :

При : ;

.

Отже, .■

Невластивий інтеграл зберігає основні властивості визначеного інтеграла: 1) лінійності і адитивності відносно проміжку інтегрування;

2) теореми заміни змінної і інтегрування частинами;

3) формулу Ньютона-Лейбніца: якщо для існує первісна на (), тоді .

При дослідженні інтеграла на збіжність, за умови невід’ємності підінтегральної функції, використовують

Теорему (порівняння).

Якщо 1) для ;

2) для , тоді

I. якщо збігається , тоді збігається і ;якщо розбігається , тоді розбігається .

II. якщо (), тоді і збігаються і розбігаються одночасно.

III. якщо (), тоді при інтеграл збігається, а при інтеграл розбігається.

Приклад 11. Дослідити на збіжність 1) ; 2) .

■ 1) – інтеграл збігається.

2) – інтеграл розбігається. ■

Означення (невластивого інтеграла другого роду від необмеженої функції по обмеженому проміжку інтегрування).

Припустимо, що

1) ;

2) ;

3) , де , тобто .

Наступну границю називають невластивим інтегралом другого роду і позначається .

Точку називають особливою точкою невластивого інтеграла.

Подібно, якщо є особливою точкою, маємо .

Якщо , є особливою точкою інтеграла, тоді .

Якщо кожна з цих границь існує і скінченна, то інтеграл називають збіжним, в протилежному випадку – розбіжним.

Головним значенням (valeur principale) з особливою точкою , називають .

Приклад 12. Дослідити на збіжність , де .

■ При даний інтеграл є звичайним інтегралом Рімана, а отже збіжним.

При точка є особливою точкою невластивого інтеграла другого роду.

При : .

При :

При інтеграл збігається;

При інтеграл розбігається.

Отже, .■

Приклад 13. Знайти

■ є особливою точкою інтеграла другого роду. Згідно з означенням

. ■

Зауважимо,що кожний з інтегралів є розбіжним.

Властивості сформульовані для невластивих інтегралів першого роду вірні і для невластивих інтегралів другого роду. Сформулюємо випадок ІІІ теореми порівняння:

ІІІ′. Якщо є невластивим інтегралом другого роду з особливою точкою і (), тоді при : розбігається, а при збігається.

Завдання 13

Користуючись означенням і формулою Ньютона-Лейбніца знайти значення невластивого інтегралу

Дата добавления: 2015-11-16