Читайте также:
|
7. Гама і бета функції Ейлера.
Невластиві інтеграли
називають інтегралами Ейлера.
1. При 
інтеграли збігаються. Деякі наближені значення 
наведено у таблиці (див. додаток).
2. 
, 
.
Зокрема 
3. 
Приклад 17. Знайти об’єм тіла обертання, яке утворюється при обертанні фігури, обмеженої астроїдою 
навколо осі Оу.
■ Зробимо схематичний рисунок (рис. 7)
.
При обчисленні інтеграла застосуємо формули:
.
У нашому випадку 
і інтеграл 
.
Отже, 
■
Приклад 18. Знайти площу фігури, обмеженої кривою
.
■ Зауважимо, що графік кривої симетричний відносно осей Ох і Оу, отже 
. Перейдемо до полярних координат: 
.
Отримуємо: 
.
Тоді 
.
Застосуємо формули 
, 
,
У нашому випадку 
, тому
. ■
Приклад 19. Довести, що інтеграл збігається і знайти його наближене значення 
.
■. Запишемо інтеграл у вигляді
.
Маємо 
За цих умов функція 
приймає скінченне значення. З іншої сторони зауважимо, що за теоремою порівняння 
~ 
при 
. Для 
невластивий інтеграл першого роду збігається. Знайдемо наближене значення інтеграла
.
За таблицею для гама-функції (див. додаток) отримуємо:
; 
.
Отже 
. ■
Завдання 16
Довести збіжність наступних інтегралів і знайти їх наближені значення, користуючись таблицею гама–функцій.
781.  .
| 782.  .
| 783.  .
|
784.  .
| 785.  .
| 786.  .
|
787.  .
| 788.  .
| 789.  .
|
790.  .
|
Знайти площу фігури, обмеженої кривою
791.  .
| 792.  .
|
793.  .
| 794.  .
|
795.  .
| 796.  .
|
Знайти об’єм тіла, яке утворене обертанням фігури, обмеженої лінією
797. 
навколо осі Ох.
798. 
навколо осі Ох.
799. 
навколо осі Ох.
800. 
навколо осі Оу.
Дата добавления: 2015-11-16; просмотров: 90 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Абсолютна і умовна збіжність невластивих інтегралів. | | | Active vocabular |