Криволінійні інтеграли першого роду (по довжині дуги) і їх застосування в задачах фізики.

Означення (гладкої дуги). Для простоти розглянемо плоску криву (дугу) Г, яку описує векторна функція . Побудуємо поділ .

Кожному значенню параметра відповідає точка . Знайдемо довжину ламаної, вписаної в Г:

.

Довжиною дуги Г називають , якщо , тоді Г називають спрямлюваною, а – її довжиною.

Дугу Г називають гладкою, якщо і для .

Теорема 1:

1) гладка дуга спрямлюється і , де ;

2) для гладкої незамкненої дуги ;

3) довжина гладкої дуги в малому еквівалентна довжині хорди, що її стягує.

Означення (параметризація гладкої дуги). Для гладкої дуги Г введемо новий параметр – довжина дуги від точки А () до змінної точки М (t) (), – строго монотонно зростає на : , і . Параметр називають натуральним параметром.

Означення (криволінійного інтеграла першого роду).Розглянемо гладку криву Г: , для . Введемо натуральний параметр і побудуємо поділ

.

Кожному значенню параметра l на дузі Г відповідає точка. Позначимо через точку, яка відповідає значенню параметра .

Нехай на Г задано функцію . Побудуємо інтегральну суму . Якщо існує і не залежить від поділу , вибору точки і вибору прямування , тоді цю границю називають криволінійним інтегралом першого роду (по довжині дуги) і позначають .

Дата добавления: 2015-11-16