Читайте также:
|
|
1) Г задано параметрично: , для , на Г задано функцію , тоді
(1)
(У випадку плоскої кривої координата z відсутня (z = 0)).
2) Г задано явно: або – плоска крива. За умов , , тоді
(2)
3) Г – плоска крива, яку задано у полярній системі координат,
;
, тоді
(3)
Фізичні задачі, які приводять до обчислення криволінійного інтеграла першого роду
Задача 1. Маса дуги (заряд розподілений вздовж Г)
, (4)
де – густина маси (густина заряду: або ), яку задано у кожній точці .
Задача 2. Центр ваги плоскої дуги:
, , (5)
де – масса дуги , – густина маси у точці (якщо дуга однорідна, то вважають, що , тоді ).
Теореми Гульдіна:
1. .
2. , де – центр мас дуги Г, – масса дуги .
Задача 3. Для плоскої фігури
статичні моменти відносно осей Ох і Оу відповідно
, (6)
Задача 4. Для плоскої гладкої дуги Г статичні моменти відносно осей Ох і Оу відповідно
, (7),
моменти інерції відповідно осей Ох і Оу
, (8)
Задача 5. Центр ваги плоскої фігури (див. задачу 3)
, , де S – площа фігури (9)
Завдання 12
Знайти масу (заряд), розподілену вздовж дуги Г, якщо задана густина розподілу маси (заряду) ,
261. Г – відрізок прямої між точками А (0,0) та В (1,1), .
262. Г – верхня половина кола між точками А (а,0) та В (– а,0), , .
263. Г – дуга параболи між точками А (0,0) та В (4, ), .
264. Г – перша арка циклоїди , , .
265. Г – дуга кривої між точками, які відповідають , , .
266. Г – відрізок прямої між точками А (0,–2) та В (4,0), .
267. Г – контур прямокутника зі сторонами, які утворені прямими , .
268. Г – контур трикутника з вершинами у точках О (0,0), А (1,0) та В (0,1), .
269. Г – дуга гіперболічної спіралі від точки А () до В (), .
270. Г – дуга циклоїди , між точками А () та В (), .
271. Г – дуга кривої , між точками А () та В (), .
272. Г – дуга логарифмічної спіралі , , яка лежить всередині кола , .
273. Г – дуга кривої між точками А () та В (), .
274. Г – дуга спіралі , між точками А () та В (), .
275. Г – коло , ,
276. Г – коло, що є перетином поверхонь , , , .
Знайти координати центра мас
277. однорідної дуги циклоїди , ;
278. однорідного півкола ;
279. однорідної дуги ланцюгової лінії , ;
280. однорідної дуги астроїди , , що лежить вище осі Ох.
Знайти статичний момент
281. верхньої частини еліпса , , відносно осі Ох;
282. дуги параболи , , відносно осі Ох;
283. дуги параболи , , відносно осі Оy;
284. дуги кривої , , відносно осі Ох;
285. фігури, обмеженої лініями , відносно осі Ох;
Знайти момент інерції
286. дуги кола , , відносно осі Оy;
287. дуги ланцюгової лінії , , відносно осі Ох;
288. дуги ланцюгової лінії , , відносно осі Оy;
289. користуючись теоремою Гульдіна, знайти центр мас дуги астроїди , ;
290. користуючись теоремою Гульдіна, знайти центр мас фігури, обмеженої віссю Ох і однією аркою циклоїди , .
Дата добавления: 2015-11-16; просмотров: 116 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Криволінійні інтеграли першого роду (по довжині дуги) і їх застосування в задачах фізики. | | | Розділ ІІ. Невластиві інтеграли Рімана |