Читайте также:
|
|
1) Г задано параметрично: ,
для
, на Г задано функцію
, тоді
(1)
(У випадку плоскої кривої координата z відсутня (z = 0)).
2) Г задано явно: або
– плоска крива. За умов
,
, тоді
(2)
3) Г – плоска крива, яку задано у полярній системі координат,
;
, тоді
(3)
Фізичні задачі, які приводять до обчислення криволінійного інтеграла першого роду
Задача 1. Маса дуги (заряд розподілений вздовж Г)
, (4)
де – густина маси (густина заряду:
або
), яку задано у кожній точці
.
Задача 2. Центр ваги плоскої дуги:
,
, (5)
де – масса дуги
,
– густина маси у точці
(якщо дуга однорідна, то вважають, що
, тоді
).
Теореми Гульдіна:
1. .
2. , де
– центр мас дуги Г,
– масса дуги
.
Задача 3. Для плоскої фігури
статичні моменти відносно осей Ох і Оу відповідно
,
(6)
Задача 4. Для плоскої гладкої дуги Г статичні моменти відносно осей Ох і Оу відповідно
,
(7),
моменти інерції відповідно осей Ох і Оу
,
(8)
Задача 5. Центр ваги плоскої фігури (див. задачу 3)
,
, де S – площа фігури (9)
Завдання 12
Знайти масу (заряд), розподілену вздовж дуги Г, якщо задана густина розподілу маси (заряду) ,
261. Г – відрізок прямої між точками А (0,0) та В (1,1),
.
262. Г – верхня половина кола між точками А (а,0) та В (– а,0),
,
.
263. Г – дуга параболи між точками А (0,0) та В (4,
),
.
264. Г – перша арка циклоїди ,
,
.
265. Г – дуга кривої між точками, які відповідають
,
,
.
266. Г – відрізок прямої між точками А (0,–2) та В (4,0),
.
267. Г – контур прямокутника зі сторонами, які утворені прямими ,
.
268. Г – контур трикутника з вершинами у точках О (0,0), А (1,0) та В (0,1), .
269. Г – дуга гіперболічної спіралі від точки А (
) до В (
),
.
270. Г – дуга циклоїди ,
між точками А (
) та В (
),
.
271. Г – дуга кривої ,
між точками А (
) та В (
),
.
272. Г – дуга логарифмічної спіралі ,
, яка лежить всередині кола
,
.
273. Г – дуга кривої між точками А (
) та В (
),
.
274. Г – дуга спіралі ,
між точками А (
) та В (
),
.
275. Г – коло ,
,
276. Г – коло, що є перетином поверхонь ,
,
,
.
Знайти координати центра мас
277. однорідної дуги циклоїди ,
;
278. однорідного півкола ;
279. однорідної дуги ланцюгової лінії ,
;
280. однорідної дуги астроїди ,
, що лежить вище осі Ох.
Знайти статичний момент
281. верхньої частини еліпса ,
, відносно осі Ох;
282. дуги параболи ,
, відносно осі Ох;
283. дуги параболи ,
, відносно осі Оy;
284. дуги кривої ,
, відносно осі Ох;
285. фігури, обмеженої лініями , відносно осі Ох;
Знайти момент інерції
286. дуги кола ,
, відносно осі Оy;
287. дуги ланцюгової лінії ,
, відносно осі Ох;
288. дуги ланцюгової лінії ,
, відносно осі Оy;
289. користуючись теоремою Гульдіна, знайти центр мас дуги астроїди ,
;
290. користуючись теоремою Гульдіна, знайти центр мас фігури, обмеженої віссю Ох і однією аркою циклоїди ,
.
Дата добавления: 2015-11-16; просмотров: 116 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Криволінійні інтеграли першого роду (по довжині дуги) і їх застосування в задачах фізики. | | | Розділ ІІ. Невластиві інтеграли Рімана |