На основании (3.22) имеем 4 страница

Магнитная сила в этом случае будет силой потокосцепления внутри области r _s и пондеромоторной в остальной части прост­ранства:

, (4.71)

где V_r — объем магнитной частицы, см³.

187. Вертикальная составляющая напряженности магнитного пола может быть вычислена по формуле

, (4.72)

где d = R / l; g = l / a;

а вертикальная составляющая магнитной силы в этом случае

188. Для нахождения требуемых величин H и F _м на оси между впадинами можно вос­пользоваться выражением для функции напряженности:

, (4.73)

187. .

(4.74)

является полным эллиптическим интегралом при дополнительном модуле , а — комплексная переменная.

В общем случае , и для прямой на оси впадин, как нетрудно убедиться,

Формула (4.73) при этом принимает вид

откуда, производя преобразование, аналогично получим для рас­чета формулу (4.74).

189. — вязкостным (диссипативным) и инерционным (динамическим),

Δр/h = Av + Bv². (4.75)
Это выражение часто линеаризуют таким образом:

Δр/(hv) = A + Bv.

Однако в любом случае формула (4.75) является приближенной. Универсальный закон фильтрования записывают в критериальной форме
λ = c Re ⁱ

где с — коэффициент, зависящий от i; Re — критерий Рейнольдса, показатель режима течения жидкости.

При движении жидкости через высокоградиентных среды, в частности через слой шаров крупнее 5—7 мм су­щественную роль играет квадратичный член уравнения (5.34), по­этому скорость можно рассчитать по формуле Краснопольского для турбулентного фильтрования:

V=k_тÖ2gH, (4.75a)

где k_т — коэффициент Краснопольского; Н — напор.

190. Эта формула несколько уточнена С. В. Избашем:

V=cmÖD_ш I,

где с — скоростной коэффициент (с = 20—14/Д_ш —для гидравли­ческого уклона 0,1< I < 100).

191. Таким образом, режим движения жидкости в поровом канале можно представить как комплексный, имеющий в центре канала турбулентную зону, в которой скорость определяется формулой (5.34) и переходный слой к стенкам и точкам контактов шаров, от которых скорость растет в направлении к центру канала по ло­гарифмическому закону Прандтля

v = 1/ aÖs_ж/d ln x + C,

где s_ж — напряжение турбулентного трения; х — расстояние от стенки шара (точки контакта) перпендикулярно оси шаров, (поперек струи); а — эмпирический коэффициент; δ —плотность жидко­сти; С — постоянная интегрирования.

Это же уравнение можно представить в универсальном (по критерию Рейнольдса) виде: v = Ös_ж/d[5,75lgx/nÖs_ж/d +5,5],

где n — кинематический коэффициент вязкости пульпы.

192. Отношение площади магнитоадгезион-ного пространства, в кото­ром захват магнитных зерен происходит со 100%-ной вероятностью к общей площади перового канала в магнитоадгезионной среде (например, в слое шаров), является по существу веро­ятностью Р захвата магнитного зерна в одном цикле:

P = S_3aхв/S_общ. (4.76)

192. e = q[1 – (1 – Р)ⁿ]. (4.77)

На рис. 4.41 показано семей­ство кривых для ряда значений Р при q =1, рассчитанное теорети­чески и проверенное эксперимен­тально. В реальных условиях и зависит от напряженности поля диаметра шаров и скорости движения пульпы в каналах, а n непосредственно связанно с общей длиной (высотой h) рабочего пространства

(h=nD_ш)_(4.78)

Зависимость вероятности извлечения от времени сепарации и числа слоев шаров можно определить из формул (5.38) и (5.39):

e=1 —(1 — P)ⁿ=l —exp(—kt); (1— Р)ⁿ = ехр (— kt);

P =l — exp(— kt/n).

При t ®0, Р ®0, а увеличение времени пребывания зерна в рабочей зоне повышает вероятность его извлечения. Для каждого отдельного слоя вероятность извлечения зависит только от коэффициента сепарации и времени.

193.. Эта сила, по Фрумкину, равна:

F_пов = Gs_г-жcosq/(dgd), (4.78)

где s_г-ж — поверхностное натяжение на границе «жидкость — газ»; q — угол смачивания минерала частицы; d, d — соответственно плотность и диаметр частицы; g — ускорение свободного падения. Из выражений.(5,36) следует, что F_пов может определять пове­дение тонких часгиц, а так как полиградиентные среды являют­ся гидрофильными и обладают высокой кривизной и неоднородностью поверхности, то при изучении законов движения пульпы в полиградиентных средах нельзя пренебрегать капиллярными яв­лениями. В общем случае молекулярное давление (р_м) в соответ­ствии с законом Лапласа

p_м = p_o + (1/R₁ + 1/R₂),

где р_о — молекулярное давление на плоскую поверхность; σ — по­верхностное натяжение жидкости; R₁ и R₂ — главные радиусы кри­визны водной поверхности.

При удалении воды из слоя шаров, в точках контакта непре­менно остается капиллярно-стыковая вода (рис. 4.44).

194. Оптимальным диапазоном крупности шаров, если учесть маг­нитные и геометрические свойства частиц, являются

D _ш = (50¸100) ,

где — средняя крупность сепарируемых частиц ( =d_н / 3); d_н — размер сита, через которое проходят 95% частиц данной про­бы, а 5% остаются на сите.

195. В принципе эта задача сводится к расчету оптимального про­филя полюсных наконечников полиградиентного сепаратора в за­данных граничных условиях. По условию стабильности процесса

F_м /F _гм = f = const, (4.79)

где f >0. При постоянстве этого соотношения вероятность захвата магнитного зерна должна быть одинаковой на любой высоте рабочего пространства по ходу сепарируемого материала. При уве­личении f увеличивается коэф-фициент сепарации, что должно су­щественно интенсифицировать кинетику сепарации. В этом преи­мущество процесса разделения.

195. В формуле (4.75a) силы можно представить так:

F_м» k₁H² F_гм» k₂v

где F_м и F_гм — соответственно магнитная и гидромеханическая силы; k₁ и k₂ — коэффициенты пропорциональности; H — напряженность поля; v — скорость потока.

Так как v=k_тÖ2gh (см. уравнение 4.35), то

H ≈ k_h ,

где k_h— коэффициент пропорциональности; h — высота слоя ша ров.

Задача сводится к решению уравнения Лапласа в граничных условиях Неймана (граничные условия второго рода). Она может быть решена в полярной системе координат с использованием универсальной системы ортогональных функций (в интервале от 0 до 2):

{ 1; соsj; соз2ф;. ….- cos m j;

{ sin j; sin 2j;... sin m j.

Форму полюсов определяют две эквипотенциальные поверхно­сти U_з = const (где U_з — магнитный потенциал на зазор).

Следовательно, в полярных координатах эквипотенциальная поверхность и поверхность силовых линий могут быть описаны следующей системой уравнений:

{ Ar^m sin mj = const;

{ Ar^m cos mj = const;

где А — постоянная; r — радиус-вектор в полярных координатах;
, m — неизвестный показатель степени; j — полярный угол;
r^m(cos mj + i sin mj)—тригонометрическая форма комплексного
числа в степени. '
Итак,

Ar^msin m j = U₃,

т. е. профиль наконечников в данном случае описывается гиперболой.
Проанализируем уравнение (5.41) с целью определения кри­вых, по которым можно рассчитать профили полюсных наконечни­ков:

196. если F_м пропорциональна v или Ör и 2 m —2 = 0,5, а m = ⁵/4, то_г следовательно, уравнением профиля будет

. r^5/4 sin (5j/4) = const, (4.80)

где постоянная определяется заданными параметрами рабочего пространства.

197. Точка А, отстоящая от оси х на АВ = = 0,5 l_min (где l_min — минимальный воздушный зазор сепаратора), имеет координаты r =14 см и j = 20°. Подставляя значение r и j точки А в уравнение (4.41), определим постоянную в уравнении профиля полюсного наконечника:

Далее, задавая <p=20°; 40°; 60°; 90°; 110°; 130°, получаем из уравнения p^s/4 sin 5ф/4=11,75, значения р для построения профи­ля полюсного наконечника... Например:

Расчетные значения полярных координат полюсной поверхности |

198. Разрыв контактов между элементами полиградиентной среды и вывод ее из рабочего пространства рез­ко повышает коэффициент размагничивания и вызывает самораз­магничивание полиградиентной среды (рис. 4.49). Как известно,

где k — коэффициент скорости процесса; зависящий от условий размагничивания и микроструктуры материала.

199. Теоретические принципы электродинамической сепарации развиты в, работах Г. Я. Сермонса, М. С. Захаровой, В. Н. Лапицкого и др. В обычной формуле для расчета пондеромоторной магнитной силы при расчете электродинамической силы вместо магнитной восприимчивости подставляют коэффици­ент поляризуемости – α'

F_{эл.магн.} = 0,25m_аa`ÑН². (4.83)

Для сферической проводящей частицы с радиусом R:

где γ — отношение размера проводника к глубине проникновения в него электромагнитного поля.

В нашем случае g = ÖR²wm_os,

где w — циклическая частота переменного тока (w= 2pf); s - удельная электропроводность материала частицы.

200. Сверхпроводящие обмотки в гибридных магнитах создают под­держивающее поле от 8 до 15 Тл, что позволяет достичь устойчи­вых постоянных полей с индукцией 30 Тл и выше. Потребляемая мощность таких магнитов составляет 5–20 МВт, причем она опре­деляется в основном мощностью медного соленоида, для которого

где W–мощность, МВт; r ₀ –внутренний радиус соленоида.

В мощных магнитных системах (сверхпроводящих, водоохлаждаемых и т. д.) серьезным ограничивающим фактором становится прочность катушки, которая испытывает гидростатическое давле­ние p (Па), приблизительно равное:

где Η – напряженность поля в канале соленоида.

201. При этом сила, которая удерживает частицы магнитной фракции в потоке, опре­деляется суммой сил трения и магнитной:

где F _мⁿ и F _м^t– соответственно нормальная и тангенциальная со­ставляющая магнитной силы по отношению к внутренней поверх­ности трубки; φ–угол трения минерала по поверхности трубки. Так как в обычных электромагнитных анализаторах при соче­тании полюсов типа «конус-конус» в относительно большом зазоре F _мⁿ≈ F _м^t, то

т. е. на удерживание расходуется не только вся магнитная сила, но она еще усиливается силой трения.

202. Последний в этом случае можно раз­ложить по отношению к каналу на осевую и радиальную состав­ляющие, причем радиальная является нормальной к поверхности винта

где α– угол наклона винта по отношению к оси канала. Удерживающая сила при этом

(4.43)

203. Измерения с помощью баллистического гальванометра М-119 показали, что индукция в рабочем канале при введении ферромаг­нитного стержня

где S –относительная площадь поперечного сечения стержня, в до­лях ед. (S = S _{стержня}/ S _канала); B _s – индукция насыщения стержня.

204. Расчет гидроциклона обычно производят на основе уравнения Навье – Стокса

где v –скорость; ρ –плотность (ρ=ρ₀+ρ_м); η–вязкость (η=η₀+η_м) суспензии, увеличенная за счет магнитного взаимо­действия частиц.

Задача проверки работоспособности такого аппарата с целью выдачи исходных данных для его проектирования решалась на основе теории подобия и физического моделирования. Так как при строго равных гидродинамических условиях (один и тот же гид­роциклон) процесс разделения будет определяться только удель­ной магнитной силой,

При равных формфакторах соленоида можно записать

(4.85)

где f_н – коэффициент формы магнитного поля.

Уравнение (4.85) можно конкретизировать, если учесть, что эпюра напряженности поля трапециевидного соленоида имеет ли­нейный участок в конической части канала, причем угол наклона линейного участка графика функции H_z=f(z) приблизительно ра­вен углу конусности соленоида (экспериментальный факт). В этом случае

Здесь ось z совпадает с осью соленоида.

Обозначив через n, получим выражение для H_z=f(z) в виде.

где k –поправочный коэффициент на нелинейность этой функции в зоне H ₀= H _max

Магнитная сила, действующая на зерна магнитной фракции по оси гидроциклона, равна

(4.86)

205. При этом, если критерий гидродинамического подобия (размеры насадок, давление и Re) остается тем же, в качестве критерия подобия магнитной силы можно принять (при

f_н= const)

где ρ_отн – плотность минерала по отношению к плотности среды в которой происходит разделение.

206. для одномерного случая (по вертикальной оси гидроциклона) имеет вид

где С –концентрация магнитной фракции; D –коэффициент диф­фузии; k _м–коэффициент магнитной силы, зависящий от картины магнитного поля сверхпроводящей магнитной системы ; α, k _с – коэффициенты силы сопротивления среды (с учетом частиц и без них); T –коэффициент, учитывающий содержание твердого в магнитной фракции; ρ_ср, χ_cρ–соответственно плотность и магнитная восприимчивость суспензии.

207. Для выпол­нения других условий применяется переменное поле убывающей амплитуды, величина которой изменяется по закону:

где x–расстояние от начала зоны размагничивания до местона­хождения частицы; ω–угловая частота переменного магнитного поля; φ–угол сдвига фаз.

Для равномерного уменьшения амплитуды градиент напря­женности поля должен быть постоянным.

При φ=0 и t=x/v

где v – скорость движения пульпы; s–длина зоны размагничи­вания.

208. Для оценки эффективности размагничивающих аппаратов мож­но использовать произведение частоты на величину, обратную градиенту:

209. Уравнения для расчета величин H и ÑН можно получить, если рассмотреть отображение магнитного поля, образованного двумя -семействами равносторонних ортогональных гипербол а, на однород­ное поле б с помощью преобразования

W = k Z², (1)

где k — некоторая постоянная;

в Z = x + jy.

В этом случае (рис. 1) полуплоскость, определяемая действительной частью числа Z, т.е. Re(Z) ³ 0 взаимно одно­значно отображается на плоскость W с разрезом вдоль действи­тельной оси от точки W =0 до точки W = - ¥.

Полагая, что в однородном поле прямые линии, параллельные оси V,

являются эквипотенциальными линиями j, а линии, параллельные оси U - линиями потока индукции Ф, из уравнения (5.1) для комплексного потенциала W имеем:

W = U + j Ф = k(x + jy)²

где j = Ö - I.

Откуда U = 2kxу (2). Ф = k(x² – y²) (3)

По уравнениям (2) и (3) можно рассчитать профиль полюсов для сепаратора, причем для определения профиля в силу ду­альности плоскопараллельного магнитного поля можно пользо­ваться любым из этих уравнений.

Тогда модуль напряженности магнитного поля

H = çdW/dzç= 2kÖx² – y² (4)
Откуда

ÑH = 2k/Ö x² – y² (xi – yk) (5)

Таким образом, если профиль полюсов рассчитывать по урав­нению (3), то вдоль оси ОХ, которая будет одновременно и осью симметрии,

ÑHê_y=0 = 2k = const (6)

Во всех остальных точках межполюсного зазора, не лежащих на оси симметрии ОХ, величина (ÑH)_x переменна, постоянен только модуль величины ÑH, который согласно уравнению (5) также равен 2k. Из уравнения (6) следует, что постоянная k имеет размерность величины ÑH.

Абсолютное значение постоянной k в уравнениях (1) — (6) лег­ко определить, если учесть, что значение, потенциала j на оси ОХ в силу симметрии магнитной системы равно половине разности магнитных потенциалов U_в, приложенных к концам полюсов раз­ноименной полярности, т.е.. 2kç_xy=const = U_d /(2xy) (7)

Из уравнения (5.2) становится ясна роль нейтрального полюса, выполненного магнитомягкой стали, плоскость грани которой, обращенная к межполюсному зазору, совмещена с координатной осью ОК, являющейся асимптотой для гипербол.

Особенность рассмотренной выше задачи такова: при выводе уравнений (5.2) — (5.6) концы гипербол и координатных осей пола­гали неограничен- ными, уходящими в бесконечность.

На практике размеры, как полюсов, так и ярма конечны и при­том минимальны, но в то же время они должны обеспечивать не­обходимую точность реализации рассчитанных по уравнениям (4) и (5) численных значений Н и ÑН, по крайней мере в области межполюсного зазора.

Исходя из заданного значения dН/dх по уравнению (7) находим значение U_d для некоторого фиксированного ху= const.

По уравнению (5.5) определяют составляющие х, у величи­ны ÑH и оценивают пригодность выбора профиля полюсов ху = const с точки зрения допустимости разброса составляющей х величины ÑH для заданного технологического процесса.

В случае необходимости задают новое значение произведения xу =const и повторяют этапы расчета.

Рассмотрим несколько простейших конфигураций магнитного поля, представляющих интерес для задач магнитной сепарации. По­скольку в областях, где электрические токи отсутствуют, магнитное поле безвихревое и его потенциал есть гармоническая функция, в межполюсном зазоре имеем [11]:

Н = - grad U DU = 0, (8)

где U — скалярный магнитный потенциал.

210. Применяя известные решения уравнения Лапласа (8), рассмотрим систему частных решений уравнений (8), которые в полярных координатах (r, q) имеют вид U = x(r)y(q). Анализ этих решений показал, что практический интерес представляют не все решения такого вида, а только U₀ = A_oq

U_к=*А_K r^K sin Kq,

где A_o — постоянная величина; q — полярный угол; r — радиус-вектор в полярных координатах; К,— неизвестная степень.

Поверхности силовых линий (тока) должны быть ортогональны экви­потенциальным поверхностям.

Известен пример ортогональных систем функций: 1, cos q, cos 2 q,.., cos Kq,..., sin 2 q,..., sin Kq в интервале (0,2p).

Следовательно, в полярных координатах эквипотенциальная поверхность и поверхность силовых линий могут быть описаны со­ответственно следующими выражениями:

Аr^к sin К q = const;

Аr^к cos К q = const,

где r^K ( cos K q + i sin Kq) —тригонометрическая форма комплексного числа в степени К.

Итак, U=Ar^K sin Kq, т. е. профиль полюсных наконечников, в данном случае описывается гиперболой.

Клиновидный профиль полюсных наконечников — прямая ли­ния, выраженная уравнением q = const.

Дата добавления: 2015-11-16