В неоднородном магнитном поле на единицу объема жидкости действует

сила F_м = c Н grad Н, где c — объемная маг­нитная восприимчивость частицы.

Подставляя сюда формулу напряженности магнитного поля Н = - grad U, получим уравнение, связывающее пондеромоторную силу F и радиус-вектор r:

F = 0,5c_mA²K²(2K — r)r^{2K - 3}. (9)

Исходя из уравнения (9) находят уравнение кривых, по кото­рым рассчитывают профили полюсных наконечников.

Для создания постоянного утяжеления магнитной жидкости не­обходимо, чтобы степень 2K—3=0, K=3/2. В этом случае кривая профиля полюсных наконечников примет вид

K^3/2 sin ^3/2q = const (10)

Утяжеление парамагнитной жидкости в межполюсном, прост­ранстве возрастает равномерно с расстоянием от начала коорди­нат. Тогда 2K—3=1 и K=2. В этом случае кривая профиля опи­сывается уравнением

r² sin 2q = const (11)

При использовании клиновидного профиля полюсных наконеч­ников утяжеление убывает с расстоянием, как r^-3. Для построения кривых, соответствующих уравнениям (10) и (11), необходимо знать константу, которую выбирают в зависимости от воздушного, зазора электромагнита и высоты полюсного наконечника.

211. Считая поле двухмерным, запишем как и в предыдущем случае выражение вектора напря­женности в комплексной форме:

По условию действительная часть комплексного числа

, где Re(y) действительная часть от y.

Введем комплексные величи-ны, и согласно формуле Эйлера

Рис.5.2.Схема расположения полюсов открытой многополюсной магнитной си­стемы по цилиндриче-ской поверхности (а) и в плоскости (б).

Тогда компоненты выраже- ния вектора Η в параметри-

ческой форме

(12)

Для данной части поля, где отсутствуют токи и полюса, спра­ведливо уравнение Лапласа

Следовательно,

(13)

Подставляя выражение (1) в уравнение (2), получим:

Путем сложения этих уравнений (после деления первого на sin α, второго на cos α) получаем

(14)

Следовательно, , α(х,у)=α(у), в результате уравнение (14) принимает вид

Откуда

(15)

Это может иметь место только при

По уравнению (15)

При условии, что α=0, е^c=R₀,

Эти равенства удовлетворяют как уравнениям поля, так и вы­ше приведенным граничным условиям, следовательно, это будет решение задачи:

(16)

где Н₀ – напряженность на поверхности полюсов.

В плоскости симметрии полюсов, как уже упоминалось, Н_y=0;

α=0; Н_х=Н_о ехр (–πx/S), a в плоскости, проходящей через центр межполюсного зазора,

Таким образом, в плоскостях системы, проходящих через се­редины полюсов пли межполюсных зазоров, уравнения имеют вид:

над серединой полюсов

(17)

над серединой межполюсного зазора

(18)

у поверхности полюса

В случае расположения полюсных концов по цилиндрической поверхности (например, в барабанных сепараторах) коэффициент неоднородности поля с равен

где R – радиус цилиндрической поверхности, м.

Когда R →∞, что соответствует расположению полюсных кон­цов в плоскости (например, в ленточных сепараторах), c=π/S.

Экспоненциальное поле создается полюсами, форма которых соответствует эквипотенциальному контуру. Практически приме­нять полюса такой формы затруднительно – трудно разместить обмотку. Поэтому обычно края полюсов закругляют по дуге радиу­сом r =0,45–65 мм.

Итак, для рядом расположенных полюсов, в которых магнит­ные потоки рассеиваются, напряженность поля Н_х на расстоянии x от поверхности поля определяется по формуле (5.6).

Поскольку градиент силы поля является первой производной Η по расстоянию х, то

а магнитная сила поля

(19)

На поверхности полюсов: х=0 и Н=Н₀, поэтому с=(dН/dх): Н. Получим c=π/S+1/R и радиус закругления поверхности полюсов

R=(C –π/S)^-1

где S– шаг полюсов (расстояние между их центрами, м).

Оптимальный шаг полюсов. Наибольшее значение магнитной силы при разном значении коэффициента неоднородно­сти поля достигается при условии, что первая ее производная по с равна нулю:

т.е., когда (1–2cx)=0 или

где h–толщина слоя магнитной фракции; Δ–расстояние от по­верхности полюса до слоя магнитной фракции. Отсюда оптимальный шаг полюсов

(20)

Например, для центробежного разделения при радиусе враще­ния R=0,4 м, толщине слоя h =0,01 м и Δ =0,01 м

212. избежать изодинамичности сростков и рудных зерен:

213. мелкие зерна будут удерживаться сильнее крупных. По этой причине при неизодинамичном поле необходимо сужать пределы крупности и вытянутости частиц, исходя из соотношения

(21)

214. Подставляя вместо x раз­меры магнитных зерен D и сростков d в формулы (19) и (21), получим условие равнопритягиваемости

При сепарации в воздушной среде

Отсюда

При одинаковом радиусе закругления полюсов магнита

Это правило впервые было выведено А. П. Квасковым в 1958 г.

215. Интегрируя равенство (18) над серединой межполюсного зазора на 1 м длины полюсов, полу­чим число силовых линий одной магнитной цепи в пределах от х =0 до x →∞:

Интегрируя это выражение над серединой двух соседних полю­сов, получаем разность потенциалов или свободную магнитодви­жущую силу между ними

216. При чередовании полюсов уравнения поля открытых магнитов примут вид

где v–скорость частицы или точки; t –время перемещения ча­стицы или заданной точки вдоль полюсов магнитной системы отно­сительно частицы.

При создании бегущего поля обмотками трехфазного тока урав­нение примет вид

где ω–угловая частота тока (или вращения вектора ).

217. Для определения зависимости длины магнитной флокулы от частоты переориентации, т. е. от частоты бегущего поля и других величин, предложена приближенная формула

где Q_mах– наибольшая устойчивая длина флокулы; В– магнитная индукция в пряди; f – частота смены полярности (f=v/2S); v – скорость движения частицы относительно полюсов; S – шаг полю­сов системы; μ₀ – магнитная проницаемость среды; δ – плотность пряди.

218. При сухой сепарации с удерживанием магнитной фракции эффектив­ность обогащения связана с частотой вращающегося поля эмпири­ческой зависимостью

где η, η₀– эффективность сепарации соответственно при заданной частоте и частоте равной 0; k – коэффициент, устанавливаемый опытом; f – частота магнитного поля.

219. Уравнение такого поля описывается формулой

где Ф_м, Ф_п – магнитный поток соответственно постоянного магни­та и переменного поля; f –частота тока, питающего электромаг­нит.

Опыты показали, что наибольшая эффективность сепарации магнетито-кварцевой руды достигается при напряженности посто­янного поля 32 кА/м и переменного поля–48 кА/м (табл. 5.1).

220. Считая угол φ настолько малым, что sinφ=φ, можно записать дифференциальное уравнение движения магнитной системы. По закону моментов имеем:

(5.22)

где F_м – сила магнитного сцепления якоря на барабане с магнит­ной системой, отклоняющая ее от положения равновесия; R –ра­диус барабана; m –масса магнитной системы; k, p –коэффициен­ты пропорциональности рычагов; с –коэффициент жест­кости пружины; n –коэффициент пропорциональности; Т –крутя­щий момент силы трения; φ"– угол отклонения магнитной систе­мы.

221. Частота магнитного, поля в точке на поверхности вращающего­ся барабана, когда магнитная система неподвижна,

где S – шаг полюсов магнитной системы.

Частота колебаний магнитного поля за счет колебаний магнит­ной системы

так как полярность магнитов здесь роли не играет. Таким образом, общая частота

(23)

222. Расчет этого соотношения производится следующим образом. Проекция градиента напряженности на направление радиуса равна производной напряженности по этому направлению соглас­но уравнению:

(24)

Таким образом, радиальный градиент напряженности и ради­альная магнитная сила для точек, лежащих на луче r_р, соответст­венно равны:

(25)

где С_р–коэффициент неоднородности; Н_р–напряженность поля в исследуемой точке на луче r_р.

Касательный градиент напряженности и касательная магнитная сила в точке P₀ соответственно равны:

(26)

Отношение касательной и радиальной составляющих с учетом равенств (5.25), (5.26)

Знак тангенса зависит от знака разности (Н_N–Н_M) в числите­ле этого уравнения.

223. метод конформных отображений, удалось получить корректное выражение для определения напряженности Η магнитного поля:

(27)

где

Здесь 2U– разность магнитных потенциалов между двумя полю­сами; n– число пар полюсов; λ, φ–координаты точки, в которой определяется напряженность [λ=R/R₀), R–расстояние от цент­ра системы до точки; R₀–радиус магнитной системы; K(k)– полный эллиптический интеграл первого рода модуля k, k=tg²(π(1–η)/4); η–полюсное перекрытие (η=ψ_m/ψ_S).

Для характерных точек рабочей зоны выражение (16) преоб­разуется:

по осям полюсов

между полюсами

Из известных формул для определения радиальной и тангенци­альной магнитных сил получаем

где

где

Проводимость полюса G определяется по формуле

Магнитный поток на один полюс определяется по формуле

где μ–магнитная проницаемость рабочей зоны; .

Высота h и ширина m полюса могут быть определены из сле­дующих выражений:

224. Для магнитных полей соблюдается принцип суперпозиции: при наложении нескольких магнитных полей, имеющих напряженно­сти Н₁, Н₂, Н₃,... H_i, напряженность результирующего поля H рав­на геометрической сумме напряженностей складываемых полей

Если происходит сложение двух полей (рис. 5.7), то

где – напряженность поля соответственно основных и до­полнительных полюсов.

Известно, что абсолютное значение вектора напряженности ре­зультирующего поля:

(528)

где α–угол между векторами H₁ и Η₂.

225. В зазорах таких полюсов должно соблюдаться равенство:

(5.29)

Заменим 2с=С₁ и разделим переменные dH²=С₁dx. Интегрируя это уравнение, получим

При х=0

Отсюда

При х·=1

Поскольку H₁²/H₀²<1, то

(5.19)

где

(5.20)

226. Действительно, дифференцируя уравнение (5.19), получим

Откуда сила магнита

(5.21)

не зависит от x– расстояния от поверхности полюсов.

Магнитодвижущую силу при изодинамическом рабочем прост­ранстве можно найти аналогично предыдущему, интегрируя урав­нение (5.21)

227. Из треугольника ОАД находим: OA=lcosα₁. Из треугольника ОВС находим: OB=lcosα₂. Отсюда

или

Пользуясь конформным отображением, можно получить урав­нение для определения напряженности поля между двумя сфоку­сированными гиперболами при условии, что разность потенциалов между полюсами равна единице

(22)

Так как в действительности разность потенциалов между полю­сами отличается от единицы, то β уравнение (5.22) будет входить коэффициент С, зависящий от м.д.с.,

Обозначив С/(α₁–α₂)=k, получим

(23)

Если y=OB=lcosα₂, то Н=Н₀ (Н₀ –напряженность поля в точке В, т. е. на вершине выпуклого полюса).

Отсюда

Подставляя выражение для k в уравнение (23), получим:

Значение у будем отсчитывать от B к А, тогда у=ОВ–х=lcosα₂–х (где у изменяется от OВ до ОА).

Окончательно уравнение для расчета напряженности магнит­ного поля между двумя гиперболическими поверхностями прини­мает вид

(24)

Производная напряженности поля по х

Сила магнита F, если магнитная сила поля HgradH, получает­ся равной:

(25)

228. Знак минус в уравнении (5.25) опущен, так как он указывает только на направление отсчета от начала координатных осей. Подсчеты показали, что наибольшая расчетная магнитная сила полу­чается при α₂= 10° и α₁ =21°.

Подставляя эти значения в уравнения (24), (25), получим

(26)

Магнитодвижущая сила определяется на основании уравнений (24) и (26) следующим выражением:

229. равнопритягиваемости частиц могут быть представлены следующим выражением:

Отсюда

230. координат, определяется равенством

где у', у"– соответственно первая и вторая производные уравне­ния кривой.

Подставляя значения у', у" для гипербол и производя соответ­ствующие преобразования и подстановки значений оптимальных углов наклона асимптот, получаем для наружной гиперболы

Соответственно для внутренней гиперболы

или

231. Теоретический расчет, проведенный методом конформных отображений, показал, что

где b – коэффициент, зависящий от формы полюсов; для софокусных гипербол b =0,605; ΔF –сила поля при сближении выступов в долях от наибольшего ее значения (при F_s =∞).

232. При обработке кусковатых материалов (размер частиц 10– 30 мм) внутренний полюс обычно изготовляется не гиперболиче­ским, а плоским. В этом случае аналогичные расчеты показывают, что напряженность поля изменяется при удалении от плоского поля в соответствии с зависимостью

Взяв первую производную dΗ/dx от выражения (5.29) и затем перемножив их, получим магнитную силу поля

(5.30)

Соответственно интегрируя выражение (7.30), получаем раз­ность потенциалов или свободную м.д.с.:

(5.31)

где m –коэффициент, m=(H₁–H₀)/(lH₀) =dH/(H₀dx).

233. Формулы напряженности поля, магнитной си­лы и магнитодвижущей силы поля для сочетания зубчатого полю­са с плоским выводятся аналогично:

(5.32)

где S– шаг зубцов многозубчатого полюса; Н₀ – напряженность поля вблизи зубцов (при х=0); с–коэффициент, зависящий от шага зубцов, который изменяется в пределах от 0,3 (для 5=1 см) до 0,6 (для S=3см).

234. напряженность поля Η по оси многослойного соленоида определяется соотноше­нием

где n₁ – число витков в каждом слое; n₂–число слоев; L –длина катушки; D – толщина слоев; а, b – внутренний и внешний ра­диусы соленоида.

235.

где χ– удельная магнитная восприимчивость материала; μ₀–маг­нитная восприимчивость вакуума; υ_δ–мдс на межшаровой зазор; x–расстояние от точки касания шаров до рассматриваемой точ­ки поля.

В формуле принято:

где α₀– параметр, зависящий от магнитного сопротивления ша­ров.

236. Нетрудно показать, что этот объем V можно вычислить по фор­муле

Для приближенных расчетов магнитную силу можно опреде­лить по формуле

где H_S – напряженность поля на поверхности шара в окрестности контакта.

Здесь Н₀ –напряженность внешнего магнитного поля; μ₁–маг­нитная проницаемость слоя шаров, зависящая от магнитной про­ницаемости сердечника μ_c и материала шаров и концентрации шаров Ρ (доли ед.) в слое: log μ₁=Ρ log μ_c.

237. Электромагнитные системы состоят из обмоток, сердечников-магнитопроводов и полюсных наконечников. Важной характери­стикой магнитных систем является магнитная индукция В, кото­рая пропорциональна напряженности поля Η внутри обмоток,

где μ – магнитная проницаемость сердечника.

Если просуммировать индукцию по всему сечению S - сердечника, то получится магнитный поток

Магнитные цепи подчиняются закону Ома:

где G – магнитная проводимость цепи; l, S – соответственно дли­на и сечение магнитопровода; μ–магнитная проницаемость ма­териала магнитопровода; Rm– магнитное сопротивление цепи.

Не весь магнитный поток, возникающий в электромагните, по­лезно используется при сепарации. Обычно большая его часть рассеивается в окружающем пространстве. Общий магнитный поток может быть представлен в виде суммы

где Ф_п– полезно используемый поток; Ф_р– поток рассеивания; k_р–коэффициент рассеивания магнитного потока (k_р=Ф/Ф_р=1+Ф_р/Ф_п= 1,2–4).

238. Если бы в катушке (тороиде) отсутствовал железный сердечник, то напря­женность поля оказалась бы равной

При наличии сердечника напряженность поля оказывается во много раз:

большей, поскольку магнитная проницаемость составляет μ≈600:

При незначительном увеличении щели напряженность поля резко умень­шается. Действительно, по закону Кирхгофа

Считая по-прежнему площади сечения потоков в сердечнике и в щели оди­наковыми (в действительности в щели она будет больше) и равными S, имеем Φ=BS=μHS; Φ₀=B₀S;

Подставляя эти значения в (7.33), получим

Производим вычисления, подставляя цифровые значения

239. Магнитная проводимость вычисляется следующим образом: проводимость

призмы G_np определяется из выражения.

где l₁– ширина призмы; h–высота призмы; 2a–длина призмы в направлении прохождения магнитного потока.

Если μ₀ выражать в Гн/м, размеры в м, то проводимость бу­дет в Гн.

Проводимость полуцилиндра G_пц определяется как для двух пластин в условиях плоскопараллельного поля по аналогии с электрическим полем

Здесь K(k) и K(k')–соответственно полный и дополнительный эллиптический интеграл I рода с модулями К=а/(а+b) и .

При K<0,3, т. е. для большинства реальных систем, можно считать приближенно

Проводимость сферического квадранта может быть определена на основании обработки экспериментальных данных по исследо­ванию простой системы, представляющей собой две прямоуголь­ные пластины.

Проводимость такой системы G₀ согласно принятому методу будет определяться как сумма двух полуцилиндров и четырех сферических квадрантов. Если известна общая проводимость, то проводимость сферического квадранта G_ск равна

240. Специальные расчеты [33] 'показали, что для определения оптимальной высоты катушки h_κ, обеспечивающей минимальную стоимость обмотки возбуждения за все время эксплуатации при произвольной форме поперечного сечения сердечника и заданной длине l_к катушки,

где α – норма эффективности капиталовложений, обратная сроку службы обмотки; C₁ – стоимость 1 г провода, руб; γ –плотность меди или алюминия, г/см³; V –коэффициент заполнения обмотки; р_к –внутренний периметр катушки, см; t –годовая нагрузка се­паратора, ч; C₂ – стоимость 1 Квт∙ч электроэнергии, руб; z–заданное число ампер-витков катушки; ρ–удельное сопротивле­ние меди или алюминия при рабочей температуре обмотки.

241. Магнитная энергия W, создаваемая постоянными магнитами, пропорциональна площади под кривой О-W_max-B (см. рис. 5.14), т.е. равна 0,5 ВНV, и зависит от положения рабочей точки магнитотвердых материалов.

Из рис.5.14 можно сделать вывод, что рабочая точка магнитной системы на кривой размагничивания должна находиться выше точки, соответствующей максимуму энергии магнита. В этом случае процессы размагничивания компенсируются возрастающей магнитной энергией, что делает систему более устойчивой.

От энергии зависит и объем (расход) постоянных магнитов. Максимальная магнитная энергия определяет выбор положения рабочей точки постоянного магнита. Магнитный поток и индукция в системе, как уже отмечалось, определяется магнитным законом Ома:

Ф=В·S=U_n·G

где Ф - магнитный поток в цепи;

G - магнитная проводимость цепи;

U_n - магнитный потенциал (м.д.с.) постоянных магнитов.

242. Величину U_n можно непосредственно измерить с помощью пояса Роговского. Известно, что он равен интегралу напряженности магнитного поля по нейтральной линии, проходящей через центры всех сечений магнитопровода. U_n =

Как известно, коэффициент размагничивания N=tgα и связывает намагниченность или индукцию с напряженностью: J=N∙H B/H_p=tgα (H - напряженность магнитного поля; l- суммарная длинна постоянных магнитов в цепи; α- луч среза или луч Рэлея, пересечение которого с линией возврата на кривой намагничивания дает нам рабочую точку магнита, определяющую значение индукции. С учетом изложенного можно записать, что B/H_p=l_n/S_n·G_n=tgα. Из этого следует: если магнит намагничен отдельно (без магнитопровода), то первоначально его рабочая точка A₀ (рис. 5.13, а) располагается ниже и определяется полной проводимостью взятого посто­янного магнита: G_п, т. е. лучом, проведенным под углом

α_n=arc tgG_nl_n/S_n:

243. Объем магнитов V_m определяется из следующего выражения:

V_m = V_з Н_з²/(В H σ), см (16)

где Н_з – напряженность в рабочем пространстве; σ – доля рабочего потока магнита от общего потока; V_з – объем воздушного зазора (зазора между осадительной поверхностью и магнитами, а также пустот в слое постели); H, В – коэрцитивная сила (Э) и индукция (Гс) в магнитах для данной магнитной цепи (система СГСМ). При заданном объеме постоянных магнитов V_m напряженность поля в рабочем зазоре будет равна:

H_з=

Дата добавления: 2015-11-16