Давление частиц рв на эту пластинку сверху равно

где K_m — коэффициент подвижности частиц, пропорциональный средней кинетической энергии их хаотического движения; m — объемная доля твердого в пульпе. Давление снизу

а их разность

причем давление действует на объем Δ Sdx и равно:

Градиентная сила, действующая на единицу объема, таким об­разом, равна

.

В нашем примере градиентная сила, стремясь выровнять кон­центрации магнитных зерен вблизи полюса, препятствует процес­су сепарации. В общем случае С (Х, Y, Z), поэтому в дальнейшем изложении будем обозначать просто С_м, имея в виду функцию концентрации магнитной фракции от координат.

Теперь есть основания записать уравнение (1.25) следующим образом:

откуда легко найти скорость направленного дрейфа частиц

Подставляя найденное значение скорости в выражение закона сохранения вещества (дифференциальная форма записи)

получим уравнение диффузии в силовом поле или уравнение Эйн­штейна- Фоккера-Планка (диффузии в силовом поле), справедливое только при линейной зависимости силы сопротивления от скорости:

(1.26)

Пользуясь оператором Гамильтона Ñ можно записать это уравнение короче

, (1.27)

где D=K_m/a — коэффициент макродиффузии частиц.

В декартовых координатах оператор Ñ можно представить так:

-

По своей математической структуре уравнение (1.26) аналогич­но первому уравнению Колмогорова. Сравнивая уравнение (1.26) со вторым законом Фика для диффузии

,

можно убедиться, что основным членом этого уравнения, как пра­вило, является второй член правой части уравнения (1.27), описы­вающий сепарационный процесс, тогда как диффузионный член связан с процессами сепарации и десепарации.

Пренебрегая процессами диффузии (D = 0) и учитывая, что вблизи полюсной поверхности (x = 0) концентрация С_м уже не за­висит от х и ее можно вывести за знак div, а зависимость R_мех от х вблизи полюса близка к линейной, мы можем свести (1.26) к линейному дифференциальному уравнению, выражающему за­кон «действующих масс»

,

где K_c=divR_мех.

Это уравнение ведет нас к тривиальному решению

, (1.28)

а для извлечения (по определению):

(1.29).

или

31. коэффициента скорости процесса

_32. скорости подачи массопотока в рабочее пространство:

(1.30)

где с, m — безразмерные, экспериментально устанавливаемые ко­эффициенты, зависящие от формы частиц, концентрации, темпе­ратуры и эффективной вязкости пульпы (с учетом влияния маг­нитного поля на вязкость пульпы, содержащей магнитную фрак­цию) и др.; — равнодействующая всех активных Ra и диссипативных R_Д сил, вызывающих движение частицы, отнесеных к единице массы частицы, см/с²; — скорость подачи материала в рабочее пространство, см/с.

Если К не зависит от времени, то его можно определить экс­периментально, установив период полусепарации процесса Т (с) — время, необходимое для достижения 50 % извлечения магнитной фракции,

32. (1.31)

Этот идеальный случай как раз и возможен только в процессах магнитного или гравитационного обогащения, где силовой режим можно поддерживать неизменным на протяжении всей длины зоны сепарации.

В процессах флотации непрерывно меняется концентрация реагентов и Т:Ж пульпы при съеме пены, в процессах электросе­парации изменяется заряд частиц во времени, поэтому не всегда K=f(t), и в общем случае приходим, таким образом, к уравнению Ерофеева — Колмогорова

e = 1 — ехр (—ktⁿ), (1.32)

где n — экспериментально определяемый коэффициент, учитываю­щий связь коэффициента сепарации со временем.

33. выражение для извлечения в концентрат сростков и сопутст­вующих минералов:

(1.33)

где а₂ и — содержание в руде (или пульпе) соответственно сопутствующих минералов и сростков в начальный и заданный момент времени, дол. ед.; К₂ — коэффициент, зависящий от скорости
извлечения этих частиц.

Для одинакового момента времени разделим уравнение (1.29)

на (1.32) для

(1.34)

Обозначив коэффициент сепарации через K ₀ = K ₁/ K ₂ и произ­ведя соответствующие преобразования балансовых уравнений, по­лучим

(1.35)

Этот коэффициент, зависящий от соотношения удельных свойств разделяемых минералов и от конструктивных параметров сепара­торов, численно равен соотношению скоростей извлечения разде­ляемых зерен.

Выражая коэффициент K₀ и время сепарации через величину t_p разделяющих сил и основные параметры аппарата

, (1.36)
можно в соответствии с формулами (1.34 и 1.35) и уравнениями
баланса найти технологические показатели

(1.37)

где N — масса переработанного материала, т; Q — производительность сепаратора, т/ч.

34. меньшей удельной скоростью

(e₁-для рудных зерен); (e₂-для нерудных зерен).

Уже качественный анализ экспоненты показывает, что целесообразно использовать лишь наиболее крутую ее часть, т. е. часть наиболее быстрого роста извлечения во времени.

Кроме того, пользуясь формулой разложения экспоненты в ряд с учетом малости K ₂, пренебрегая малыми, высших порядков, для нерудных зерен можно записать .

Таким образом, экспоненциальный закон извлечения нерудных зерен и сростков в концентрат можно заменить линейным законом (см. рис. 1.13).

35. Нахождение координат вершины экспоненты проведем по кри­визне K_k.

При K_k = K_k / K₀; t = K₀ /t (K₀ — имеет размерность с^-1)

,

В нашем случае е =1— е^-kt, и кривизна примет вид

.

Кривизна максимальна в момент времени , которое и является оптимальным временем ведения процесса. При этом будет достигнуто извлечение

В вершине экспоненты скорость роста извлечения e:

:

Эту скорость и примем за минимальную при оптимизации про­цесса разделения по скорости извлечения. Оптимальность выбора именно этой скорости подтверждается и тем, что она не зависит от К, т. е. является универсальным критерием оптимальной ско­рости извлечения.

В случае оптимизации процесса по скорости извлечения мы получаем извлечение

,

если это извлечение достаточно, то можно ограничиться одним процессом.

36. Первый процесс доводим до момента, когда скорость извлече­ния (dε/dt) станет равной 1/

; .

Второй процесс также доводим до момента

; ;

Следует отметить, что извлечение берется в долях единицы от исходного продукта.

Суммарное извлечение после двух процессов

.

Аналогично для третьего процесса можно показать, что

;

Общее извлечение за три процесса

Для n процессов, если принять , можно записать

извлечение

, (1.38)

Здесь n =1,2, 3,....

37. время транспортного запаздывания τ

),

Рассмотренные выше многозонные процессы, в которых К = const или линейно повышается во времени, названы процесса­ми с однородной многозонностью. Эти процессы осуществляются в одном и том же рабочем пространстве в одинаковых сепарато­рах, но с последовательным повышением мощности магнитных си­стем или снижением скорости движения пульпы v₀, что в соответ­ствии с формулой (1.30) должно привести к росту К.

38. А. И. Прыгунов, обозначая kt^m через τ, получает вместо семей­ства кривых в координатах ε; t^m одну кривую в координатах ε; τ:

Кривизна К этой кривой равна

Максимальная кривизна dK/dτ =0 достигается при τ = ln 2/2 ≈ 0,35, что соответствует извлечению - ε = 29,5 %. Из графика (рис. 1.15, а) видно, что зона максимальных значений коэффици­ента кривизны (по модулю) находится выше уровня — 0,354 (К_mах = - 0,385), а оптимальное извлечение при этом равно 51 %. Следовательно, за оптимальное время сепарации, соответствую­щее периоду с наибольшей скоростью процесса, можно принять период полусепарции T _0,5 = ln 2/ K = 0,6931/K, причем Т_0:5 легко определяется экспериментально.

39. Для случая про распределения продуктов в зоне разделе­ния О. Н. Тихонов получает это решение в виде

, (1.39)

где — интеграл вероятности; и — удельные магнитные восприимчивости соответственно частиц и среды в зоне разделения; —функция распределения выходов частиц (можно, их пред­ставить и концентрациями) в зависимости от их удельной магнит­ной восприимчивости.

При уравнение (1.39) превращается в закон Гаусса,

40. Помимо c имеется еще один параметр , характеризующий магнитный сепа­ратор и влияющий на процесс разделения: чем больше А, тем ближе идеальному закону.

Выражая концентрации частиц различного сорта с помощью гамма-функций, О. Н. Тихонов предлагает следующие формулы для прогнозирования технологических показателей обогащения по разделительным числам:

(1.40)

41. Подход, развиваемый П. И. Пиловым, Т. Нейсе и др. на ос­нове теории турбулентности Кармана и Прандтля, приводит к линейному дифференциальному уравнению первого порядка

D_t«gradC + Cv = 0 (1.41)

где D_t — коэффициент турбулентной диффузии (D_t = K_tи); K_t — коэффициент, зависящий от распределения скоростей в потоке, высоты зоны сепарации и радиуса кривизны потока; v — средняя скорость потока в зоне сепарации; С — концентрация магнитных частиц.

42. уравнение турбулентной диффузии в силовом поле (уравнение Энштейна - Фоккера - Планка, см. формулу(1.26) [31, 74]):

dC R_мех + R_маг

—— = Dt С² C - —————— С С, (1.42)

dt a

где C - объемная концентрация золота в пульпе;

D_t - коэффициент турбулентной диффузии в пульпе;

R_мех - равнодействующая механических сил в единице объема

пульпы;

R_маг - равнодействующая магнитных сил в единице объема пульпы;

a - коэффициент сопротивления среды (пульпы) движению частиц минералов, учитывающий динамическую и магнитную вязкость;

С - дифференциальный оператор Гамильтона, t – время.

43. Они не стабильны и с дальнейшим ростом Re распадаются на малые элементы i - того порядка с размером a:

a = (Re Чm)/(U Чr), (1.43)

где Re - критерий Рейнольдса;

m - динамический коэфициент вязкости;

U - скорость основного потока пульпы;

r - вязкость пульпы;

44. D_t= - dU/dy (1.44)

где U – осредненная скорость основного потока.

Величина пути смешения l определяется соотношением первой и второй производных скорости основного потока по координате y, перпендикулярной этой скорости.

, (1.45)

где χ - безразмерная постоянная Кармана, изменяющаяся в интервале от 0,35 до 0,45.

Тогда коэффициент турбулентной диффузии в направлении оси Y будет равен:

(1.46)

Величина D_t в нашем случае имеет порядок 10^-6 – 10^-2 м²/c [34]. С течением времени, когда диффузионный поток уравновешивается потоком осаждения, наступает распределение зерен по высоте, для которого справедливо следующее равенство:

(1.47)

Этому дифференциальному уравнению соответствует решение:

(1.48)

где C - концентрация частиц при высоте потока среды на поверхности сфлокулированного слоя Y = Δ.

Если учесть, что каждая фракция крупности и плотности зерен в смеси с другими ведет себя так, как будто бы находится во всем объеме одна, то формула (1.48) характеризует функцию распределения всей смеси зерен различной крупности и плотности.

Следует отметить, что для тонкого магнетита (-50 мкм) гидромеханические силы превосходят гравитационные, поэтому процесс их осаждения прекращается, и распределение по оси Y становится равномерным, за исключением зоны Δ, где происходит их захват.

По определению извлечение равно:

(1.49)

Время турбулентного переноса тонкой частицы магнетита в слой Δ должно быть меньше или равно времени пребывания её в концентраторе. Первое равно Y/V, а последнее – L/U, где L - длина концентратора, а U - скорость основного потока в нем.

При относительно постоянных значениях D_t и V уравнение (1.49) упрощается:

(1.50)

При упомянутом постоянстве V и D_t можно ввести коэффициент К_м – интенсивности турбулентного массопереноса в концентраторе, и тогда формула (9) приобретет известный вид:

(1.51)

Здесь имеются не только необходимые параметры для расчета конструкции концентратора, но и расчетный параметр режима К_м – коэффициент интенсивности турбулентного массопереноса в концентраторе.

Дата добавления: 2015-11-16