Условием применимости формулы (1.49) является 100%-ная вероятность захвата магнетита в зоне ниже Δ, но это неизбежно следует из природы магнитной флокуляции концентрата.

Коэффициент турбулентной диффузии D_t зависит не только от распределения скорости основного потока по сечению зоны сепарации, но и от абсолютной величины этой скорости. Его среднее значение можно определить по формуле:

D_t = K· U_o, (1.52)

где К – коэффициент, зависящий от распределения скоростей в потоке и от высоты потока;

U₀ – средняя скорость потока пульпы в зоне сепарации.

Как отмечалось выше, в уравнении (1.42) первым членом правой части можно пренебречь, и в этом случае его решение относительно поверхности

С_t = С_o·exp (-R/ά)·t, (1.53)

где R - равнодействующая всех магнитных и механических сил на частицу;

α - коэффициент сопротивления пульпы движению частицы;

t – время сепарации.

Для извлечения по определению (аналогично 1.49):

ε = (С_o - С_t)/C_o = 1 – exp(-R/α)·t (1.54)

Учитывая, что L/U = t и, сравнивая показатели степени в (1.49) и (1.53) получим:

D_t = R/α = K· U_o (1.55)

Можем получить связь между коэффициентом диффузии и параметрами процесса сепарации, необходимую для технологических и конструкторских расчетов. В понятие коэффициента диффу­зии здесь вкладывается реальный физический смысл, поэтому и расчеты на базе разделительных чисел дают более полезные для практики результаты. Так, о В. И. Кармазину и П. И. Пилову

; (1.56)

где v —скорость сепарационного массопереноса; t_р — время разде­ления; D_t — коэффициент турбулентной диффузии (D_t =0,0112 ur); u — скорость транспортирующего массопереноса в рабочем пространстве сепаратора (скорость пульпы); r — радиус кривизны рабо­чей зоны; y₀ — высота рабочей зоны сепаратора.

45. Принимая сферическую форму зерен, скорость движения последних опреде­ляем из уравнения динамики сепарации

где Δ — плотность среды; d — диаметр частиц; ψ — коэффициент сопротивления среды.

Скорость движения зерна v к полюсу при неизвестном коэффициенте со­противления среды ψ можно найти по методу П. В. Лященко с использованием формулы, аппроксимирующей диаграмму

. ,

где k — поправочный коэффициент на форму зерен, шероховатость их поверхно­сти, смачиваемость ее водой; — параметр Лященко; А и m — соответственно коэффициент и показатель степени, зависящие от диапазона изменений па­раметра Лященко [42].

Скорость движения магнитных частиц к полюсу (и наоборот) с учетом стесненного движения (по Лященко) запишем в виде

'

46. При эксплуатации сепараторов должны получать прибыль N (доли ед.) не меньше плановой

N=Ц/С_к - 1, (1.57)

где Ц — отпускная цена концентрата по прейскуранту, руб/т; С_к — его себестоимость, руб/т.

Цена Ц концентрата по прейскуранту:

,

где — ценность компонентов концентрата, руб/т; Б — ба­зовое содержание полезного компонента, %; — действительное его содержание, %; — содержание влаги и других вредных примесей, %.

При комплексном использовании сырья пропорционально учи­тываются выход и стоимость всех концентратов.

Себестоимость концентрата определяют по соотношению

,

где — соответственно стоимость добычи и доставки сырья, подготовительных и вспомогательных операций и, наконец, собственно затрат на магнитное обогащение, руб/т; Н — начисле­ние на стоимость концентрата, руб/т; — выход концентрата, до­ли ед.

Отсюда удельные затраты на сепарацию 1 т руды

, (1.57)

Поскольку эти затраты пропорциональны затратам на поддер­жание сепараторов в рабочем состоянии и числу приемов се­парации, естественно, обратно пропорциональны производительно­сти машин, т. е.

, (1.58)

подставляя соотношение (1.56) в формулу (1.57), можно опреде­лить оптимальное значение затрат на сепарацию 1 т сырья

, (1.59)

47. Магнитные системы ПБМ изготовля­ются путем склеивания пластин, спрессованных из оксидно-бариевых и стронциевых порошков, измельчен-ных до субмикроскопиче­ской крупности частиц и характеризуются индукцией В = 0,1 Тл, коэрцитивной силой = 176 кА/м и магнитной энергией

W_м = 0,5·BHV_м разомкнутом состоянии в воздушном зазоре на поверхности полюсов таких систем напряженность поля составляет 144кА/м, что при расстоянии между полюсами 0,1 м создает магнитодви­жущую силу, равную 144«0,1 = 14,4 А.

Стоимость таких магнитов менее 2 дол/т, что на порядок де­шевле стоимости соответствующей электромагнитной системы. Объем магнитов V_м зависит от объема воздушного зазора V₃, т. е. от объема рабочего пространства сепаратора, и приблизительно определяется по формуле

, (1.59)

где Н - напряженность поля в рабочем пространстве сепарато­ра, А/м; Н_с, В — соответственно коэрцитивная сила и индукция, остающиеся в магнитах после их намагничивания, А/м и Тл; s — коэффициент, указывающий, какая часть общего потока магнитов составляет поток в рабочем зазоре (обычно =0,5).

48. единая система уравнений электромагнитного поля рас­падается на две независимые системы уравнений:

электрического поля при

; ;

магнитного поля при

; = 0.

Коэффициенты и в рассмотренных уравнениях учитыва­ют условия распространения электромагнитного поля в среде в сравнении с условиями в вакууме ; ;

где и — соответственно относительные диэлектрическая и маг­нитная проницаемости материальных сред; и — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума; — удель­ная электропроводность. В вакууме =0.

Величины и показывают, насколько поле усиливается или ослабля­ется при переходе из вакуума в материальную среду (газ, жид­кость, твердое тело или плазма). В системе Гаусса (СГСМ и СГСЕ) =1, поэтому их часто опускают. Безразмерность μ в этой системе говорит об одинаковой размерности Н и В, различ­ные названия их (Эрстед и Гаусс) введены для того, чтобы раз­граничить поле в вакууме и веществе.

В системе СИ 80 = ф/м, а Гн/м соответст­венно. Само наличие в формулах, компенсирующих различия и , коэффициентов типа , 1/ и 4 говорит о том, что они записаны в системе Гаусса [7,11].

49. Таблица 1.1. Основные магнитные величины, уравнения магнетизма и единицы измерения.

Величина	Обо­зна­чение	Основные уравнения в системах	Единица измерения	Соотношения между единицами различных систем
СИ	СГСМ	СИ	СГСМ
Электрический заряд	q	q = it	-	Кулон, Кл	СГСЭ q	1 Кл = 3·10^9 СГСЭ q
Напряженность электриче­ского поля	E	E = F / q	-	Вольт на метр, В/м	СГСЭ E	1 В/м = 1/3·10^4 СГСЭ E
Электрическая постоянная	ε0	ε0		Фарада на метр, Ф/м	СГСЭε0	1 Ф/м = 1/8,85·10^-12 СГСЭε0
Поток электрического смеще­ния	N	-	-	Кулон, Кл	СГСЭ N	1 Кл = 4π·3·10^9 СГСЭ N
Электрическое смещение	D	D = ε0 E + P	D = ε0 E + 4π P	Кулон на квадрат­ный метр, Кл / м^2	СГСЭ D	1 Кл / м^2 = 4π·3·10^5 СГСЭ D
Разность потенциалов, напря­жение, эдс	U	U = A / q	-	Вольт, В	СГСЭ U	1 В = 1/3000 СГСЭ U
Емкость	C	C = ε S / d	C = ε S / 4π d	Фарада, Ф	Сантиметр, см	1 Ф = 9·10^11 см
Сила тока	i	i = U / R	-	Ампер, А	СГСЭ i	1А = 3·10^9 СГСЭ i
Электрическое сопротивление	R	R = U / i	-	Ом, Ом	СГСЭ R	1 Ом = 1/9·10^11 СГСЭ R
Напряженность магнитного поля	H		H = B – 4π J	Ампер на метр, А/м	Эрстед, Э	1 А/м = 4π·10^-3 Э
Магнитная индукция	B	B = μμ0 H	B = μ H	Тесла, Тл	Гаусс, Гс	1 Тл = 1 Вб/м^2, 1 Гс = 1·10^-4 Тл
Связь между B и H в вакууме	-	B = μ0 H	B = H	-	-	-
Магнитный поток	Ф			Вебер, Вб	Максвелл, Мкс	1 Мкс = 10^-8 Вб
Магнитодвижущая (намагничивающая) сила	Um	Um = in	Um = 4π in	Ампер, А	Гильберт, Гб	1 А = 0,4π Гб = 1,25 Гб; 1 Гб = 0,8 А
Магнитный момент	M	M = iS	M = iS	Ампер-квадратный метр, А·м^2	Э·см^2	1 А·м^2 = 10^3 Э·см^2
Намагниченность	J	J = M / V	J = M / V	Ампер на метр, А/м	Эрстед, Э	1 А/м = 4π·10^-3 Э
Связь между J и H	-	J = א H	J = א H	-	-	-
Объемная магнитная восприимчивость вещества	א	א = J / H	א = J / H	Безразмерная	Безразмерная	אСИ = 4אСГСМ
Абсолютная магнитная проницаемость	μабс	μабс = B / H	μабс = B / H	Генри на метр, Гн/м	Безразмерная	μабсСИ= 4π·10^-7 Гн/м
Магнитная проницаемость (относительная)	μ	μ = 1 + χ	μ = 1 + 4πχ	Безразмерная	Безразмерная	μабсСГСМ= μ
Магнитная постоянная (связь между μабс и μ)	μ0	μ0 = μабс / μ	μ0 = μабс / μ	- μ0 = 4π·10^-7 Гн/м mабс= μ0·· μотн		μ0СИ= 4π·10^-7 Гн/м; μ0СГСМ= 1
Магнитная проводимость	G	G = Ф / U	G = Ф / U	Вебер на ампер, Вб/А или Генри, Гн	Максвелл на Гильберт, Мкс/Гб	1 Мкс/Гб = 1 см = 4π·10^-9 Вб/А
Объемная плотность энергии магнитного поля	ω	ω = BH / 2	ω = BH / (8π)	Джоуль на кубический метр, Дж/м^3	Эрг на кубический сантиметр, эрг/см^3	1 Дж/м^3 = 10 эрг/см^3; 1 эрг/см^3 = 0,1 Дж/м^3
Энергетическое произведение	BH	-	-	Тесла-ампер на метр, Тл·А / м	Гаусо-эрстед, Гс·Э	1 Тл·А / м = 40π Гс·Э = 125 Гс·Э 1 Гс·Э = 1/(40π) Тл·А / м = 8·10^-3 Тл·А / м
Закон Био-Савара	-			-	-	-
Закон Ампера	-			-	-	-
Сила Лоренца	-			-	-	-
Теорема Гаусса для B	-			-	-	-
Циркуляция вектора H	-			-	-	-
Энергия магнитного поля тока	W	W = LI ^2 / 2	W = LI ^2 / (2c^2)	Джоуль, Дж	Эрг, эрг	1 Дж = 10^7 эрг
Скорость электромагнитных волн	υ			Метр в секунду, м/с	Сантиметр в секунду, см/с	1 м/с = 100 см/с
Соотношение между амплитудами векторов E и H в электромагнитной волне	-			-	-	-

Выражение для энергии электромагнитного поля

(2.1)

в случае статических полей также распадается на самостоятель­ные слагаемые — выражения для энергий электрического и магнитного полей.

Таблица 2.2. Уравнения электромагнитного поля.

В дифференциальной форме	В интегральной форме	Физический смысл уравнений
	Закон полного тока. Перемен­ное электрическое поле, т. е. токи смещения электрического поля, наряду с токами прово­димости, образуют вихревое магнитное поле и являются его вихрями. Закон изменения электрического поля во време­ни определяет закон распро­странения магнитного поля в пространстве.     Обобщенный закон электро­магнитной индукции. Пере­менное магнитное поле обра­зует вихревое электрическое, вихрями которого является скорость изменения потока магнитной индукции, взятая с обратным знаком. Закон изме­нения магнитного поля во времени определяет закон распределения электрического поля в пространстве   Закон Гаусса. Электрическое поле может иметь истоки, ко­торыми являются электричес­кие заряды     Магнитное поле не имеет ис­токов. В природе пока не об­наружены свободные магнит­ные заряды (массы)

При переходе статических полей из одной среды (1) в другую (2) на границе раздела этих сред для нормальных и тангенци­альных составляющих векторов индукции и напряженности этих полей

(2.2)

где и — поверхностные плотности зарядов и токов соответ­ственно. Вблизи поверхности раздела двух магнетиков векторы В и Н должны удовлетворять определенным граничным условиям, которые вытекают из соотношений

ÑB = 0, [ÑH] =j (2.3)

50. Поток вектора В через эту поверхность по И. В. Савельеву равен

Ф_B= B_lnS + B_2nS+ <Вn>S_{бо к} (2.4)

В соответствии с тем, что ÑВ = 0, поток вектора В через любую замкнутую поверхность равен нулю. Приравняв нулю выражение (2.4) и сделав переход h ® 0, придем к соотношению В _1n= − В _2n. Если проектировать В ₁ и В ₂ на одну и ту же нормаль, получится условие (рис. 2.1)

B_1n = B_2n (2.5)

Так как, Н = В/m₀m, то заменив составляющие В соответствующими составляющими вектора Н, умноженными на m₀m, получим соотношение

m₀mН_1n = m₀mН_2n,

из которого следует, что

Н_1n / Н_2n = m₂ / m₁ (2.6)

Теперь возьмем на границе магнетиков прямоугольный контур
(рис. 2.2) и вычислим для него циркуляцию вектора Н. При малых раз­
мерах контура циркуляцию можно представить в виде

∫Hdl = H_1тa - H_2та + <H_l> 2b (2.7)

где < H_l > — среднее значение H_l на перпендикулярных к границе участках контура. Если по границе раздела не текут макроскопи­ческие токи, [ ÑH ] в пределах контура будет равен нулю. Поэтому и циркуляция будет равна нулю.

Положив выражение (2.7) рав­ным нулю и осуществив предельный переход b → 0, придем к соот­ношению

H_1т = H_2т (2.8)

Заменив составляющие Н соответствующими составляющими вектора В, деленными на m₀m, получим соотношение

В_1t/m₀m₁ = B_2t/m₀m_2,

из которого следует, что

В_1t / _В2t = μ₁ / μ₂ (2.9)

Рис. 2.1. Преломление вектора В на Рис. 2.2. Циркуляция вектора Н на

границе двух сред. границе двух сред.

Резюмируя, можно сказать, что при переходе через границу раздела двух магнетиков нормальная составляющая вектора В и тангенциальная составляющая вектора Н изменяются непрерывно.

Тангенциальная же составляющая вектора В и нормальная состав­ляющая вектора Н при переходе через границу раздела претерпе­вают разрыв. Таким образом, при переходе через границу раздела двух сред вектор В ведет себя аналогично вектору D, а вектор Н — аналогично вектору Е в электрическим поле.

На рис. 2.3 показано поведение линий В при пересечении гра­ницы раздела двух магнетиков. Обозначим углы между линиями В

и нормалью к поверхности раздела соот­ветственно α ₁ и α ₂. Отношение танген­сов этих углов равно

tg α₁ / tg α₂ = (В_1t /B_1n) / (B_2t/B_2n)

Рис.2.3.Линии индукции при пересечении гра­ницы раздела двух магнетиков.

откуда с учетом (2.5) и (2.9) получа­ется аналогичный электрическому, закон прелом­ления линий магнитной индукции:

tg α₁ / tg α₂ = μ₁ / μ₂ (2.10) При переходе в магнетик с большей μ линии магнитной индукции отклоняются от нормали к поверхности. Это приводит к “сгущению” линий.

51.. Напряженность поля можно считать всюду в железе одина­ковой и равной Н_жел = В/μ₀μ_жел. В воздухе Н_возд= В/μ₀ μ_возд. Обозначим длину участка контура в железе через l _жел, а в зазоре — через l _возд. Тогда циркуляцию можно представить в виде Н_жел. l_жел + Н_возд l_возд. Как известно, полная циркуляция равна магнитодвижущей силе – NI, где N – суммарное число витков катушек а I – сила тока. Таким образом,

(В / μ₀ μ_жел)_. l_жел + (B / μ₀ μ_возд) l_возд = NI

Отсюда , что соответствует магнитному аналогу закона Ома ( отличается от единицы лишь в пятом знаке после запятой).

Обычно бывает порядка 0,1 м, — порядка 1 м, достигает значений порядка нескольких тысяч. Поэтому вторым слагаемым в знаменателе можно пренебречь и написать, что

В = μ _oI·N/ l_возд. (2.11)

52.

Физический смысл магнитного потенциала — работа, затрачен­ная на перенос единицы положительной магнитной массы +m (или единичного контура с током) от точки х до х в поле . U называется разностью потенциалов между двумя точками или магнитодвижущей силой (м.д.с.) и измеряется в амперах (А). В об­щем случае является функцией потенциалов. Следует отличать функцию потенциала данного поля от потенциаль­ной энергии системы источников поля постоянных магнитов или токов, которая равна работе, затраченной на создание указанной системы.

Магнитный потенциал (м.д.с.) между двумя точками (и по замк­нутому контуру) можно легко измерить экспериментально с по­мощью магнитного потенциалометра (пояса Роговского). Рассчитать полную м.д.с. можно очень легко для соленоида, если извест­но число его витков и сила тока. Например, мдс катушки, содер­жащей 2000 витков, по которой течет ток = 5А, равна в СИ .

Упомянутая выше магнитная масса (магнитный заряд) m, как следует из уравнения Максвелла, не существует реально. Вводят ее условно, для того чтобы пользоваться методами теории поля и потенциала в той же полной мере, как это делается в электроста­тике, где понятие заряда имеет четкий физический смысл. «Магнитный» аналог закона Кулона в этом случае можно записать F_м = Нm

Размерность условной точечной магнитной массы в СИ dim = , а в СГСМ; dim .

Градиент скалярной функции потенциала магнитного поля. Интенсивность изменения магнитного потенциала удобно определять его градиентом, характеризующим степень максимального увеличения данной скалярной величины по направлению, перпендикулярному уровенным поверхностям равного потенциала (эквипотенциальным по­верхностям).

Градиент скалярной функции потенциала является
вектором и обозначается равнозначными символами
или и определяется через частные производные этой
функции = = ,

где — единичные векторы (орты) по осям x;y;z соответст­венно.

Абсолютная величина градиента рассчитывается так:

.

По абсолютной величине градиент потенциала магнитного по­ля равен его напряженности, но направлен противоположно:

.

Таким образом, важнейший, известный нам параметр магнит­ного поля, определенный ранее как сила, действующая на едини­цу магнитной массы (или точки), — его напряженность может быть найдена, если известна скалярная функция потенциала данного поля. При расчетах магнитных полей обычно находят и с ее помощью рассчитывают или силу .

____________________________________________________________ * Частная производная по x показывает скорость изменения этой функции при изменении и постоянных значениях и , например, при

Дивергенция векторных функций магнитного поля (напряжённости и индукции или намагниченности). Магнитное поле имеет определённую

интенсивность (напряжённость в вакууме или индукция в веществе) и направление в каждой точке пространства, т.е. является векторной функцией координат и соответственно.

Рассмотрим конечный объем магнитного поля V в однородной среде, охваченный замкнутой поверхностью S, имеющей определенную форму.

Полный магнитный поток через эту поверхность равен ,

Рис. 2.7.

где — бесконечно малый вектор, величина которого равна пло­щади соответствующего элемента поверхности, а направление со­впадает с нормалью к этой поверхности.

Согласно закону Кулона, сила взаимодействия зарядов обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, и в этом слу­чае в соответствии с законом Гаусса магнитный поток через замк­нутую поверхность определяется суммой зарядов, охваченных этой поверхностью:

, (2.12)

где m — условная магнитная масса (аналог заряда в электриче­ском поле), которая зависит от объемной или поверхностной () плотности молекулярных или макроскопических токов.

Оценить расхождение (дивергенцию) потока в кубическом объ­еме можно, рассматривая его составляющие по осям (рис. 2.1):

аналогично запишем

где — соответственно значения ком­понент вектора индукции на противоположных гранях куба, а произведение − приращение компоненты вдоль соответст­вующей оси. Весь поток, выходящий из данного объема, равен .

выражение, стоящее в скобках, получило название дивергенции вектора

.

Дивергенцию вектора можно определить как объемную плот­ность потока вектора — с потоком она соотносится так же, как напряженность с силой.

Определяя весь поток через дивергенцию, получим формулу

,

выражающую теорию Остроградского — Гаусса.

Внутри предельно малых объемов дивергенцию можно считать величиной постоянной и в связи с этим вынести за знак интеграла

. (2.13)

Учитывая, что (2.12) справедливо лишь в предельном случае бесконечно малой поверхности, его правильнее записать так:

.

Следовательно, дивергенция вектора в данной точке — это пре­дел, к которому стремится отношение потока вектора через замк­нутую поверхность, включающую эту точку, к объему , охва­ченному этой поверхностью, при .

Магнитное поле может «расходиться» или «растекаться» толь­ко из точек, в которых или , что означает нали­чие в этих точках (или областях) токов или магнитных масс. От­рицательные значения дивергенции соответствуют «стокам» поля (отрицательные значения магнитных масс).

Дивергенция, характеризуя векторное магнитное поле и яв­ляясь пространственной производной вектора, сама является ска­лярной величиной и выражается через скалярное произведение двух векторов, например, В и s:

, (2.14)

где − оператор Гамильтона (вектор).

Из выражений (2.13) и (2.15) можно получить векторную фор­му закона Гаусса для магнитного поля:

div , или условно div , (2.15)

где m — магнитная масса;. j — ток, создающий магнитное поле.

Уравнение (2.15) входит составной частью в систему уравне­ний Максвелла (см. табл. 2.2), но так как магнитных масс не существует, там записано div = 0

Рис. 2.8. Схема для рас­чета циркуляции вектора .  

Ротор векторных функций магнитного поля. Важной характеристикой магнитного поля является вихрь или ро­тор напряженности (индукции) . Эта величина опре­деляется работой вектора , совершаемой им по замкнутому кон­туру и отнесенной к величине, охваченной контуром площадки.

Сама работа называется циркуляцией вектора

где l — длина замкнутого контура.

Если упомянутый произвольный контур спроектировать на все три плоскости декартовых координат, то можно вычислить цирку­ляцию компонентов вектора напряженности (рис. 2.8):

.

Найдем, например, dC_x в правой системе координат, обходя соответствующую проекцию контура против часовой стрелки и считая его малым прямоугольником (со стороны dy, dz):

=

Соответственно

; .

Если , то

.

С другой стороны

Это уравнение выражает теорему Стокса, которая по своей структуре похожа на теорему дивергенции Остроградского − Гаусса. Первая связывает линейный интеграл вектора с ротором вектора, а вторая связывает поверхностный интеграл от вектора с объемным интегралом от дивергенции вектора, т. е. первая имеет дело с поверхностью и огибающей ее кривой, а вторая − с объемом и охватывающей его поверхностью.

В предельном случае

т. е. проекция ротора на нормаль к поверхности в данной точке поля равна пределу отношения циркуляции вектора H по контуру l произвольной малой площадки (проходящей через эту точку), к поверхности этой площадки S.

Наличие точки приложения, величины и направления говорит о том, что ротор — величина векторная. Путем преобразований легко показать, что

т. е. ротор — не что иное, как векторное произведение векторов и H, поэтому его можно записывать и в виде определителя

.

Дивергенция и ротор являются важнейшими векторными ха­рактеристиками магнитного поля, однозначно определяющими его картину (сеть линий потока и потенциала). Вполне очевидно, что вихрь не может иметь ни градиента, ни расхождения (т. е. так же, как невозможно расхождение замкнутого вихря ( ). Последнее легко доказать путем применения теорем Остроградского — Гаусса, а затем Стокса.

Операция двойного взятия ротора от вектора индукции или напряженности возможна и записывается так:

или

,

Последний член этого уравнения в теории электромагнитного поля имеет самостоятельное и большое значение, как это будет показано ниже.

Основные уравнения для расчета магнитных полей в рабочих пространствах сепараторов.

Так как ,

то можно сделать следующий шаг в уточнении представлений о магнитном поле. Операцию «взятия дивергенции от градиента» обозначают также символами или r. Последний называют оператором Лапласа или лапласианом. Действительно, если оператор Гамильтона

возвести в квадрат, то получим:

что совпадает с выражением лапласиана в декартовых координатах [в сферических координатах операторы градиента (Гамильтона) и Лапласа связаны иначе, поэтому важно помнить фундамен­тальное определение оператора Лапласа, состоящее в том, что он является дивергенцией градиента].

Применяя закон Гаусса в дифференциальной форме и считая плотность тока аналогом «магнитного заряда», получим для уста­новившегося (постоянного) магнитного поля уравнение Пуассона, связывающее плотность заряда, или тока, создающего магнитное поле с пространственным распределением потенциала

r . (2.16)

В областях, где отсутствуют магнитные массы и токи (напри­мер, в межполюсном пространстве), уравнение Пуассона, превра­щается в свое частное выражение – уравнение Лапласа:

r 0 (2.17)

В большинстве задач, связанных с расчетами магнитных полей в сепараторах, используют именно выражение (2.17). Класс функ­ций, удовлетворяющих уравнению Лапласа, называют гармони­ческими функциями и их важнейшее свойство состоит в том, что если удовлетворяет уравнению Лапласа, то среднее зна­чение U по поверхности любой сферы равно значению U в центре сферы. В связи с этим в общем случае уравнениям Лапласа и Пу­ассона удовлетворяет функция l/ R (R — расстояние от полюса или заряда).

Общий вид решений уравнений Лапласа и Пуассона в связи с этим будет:

или .

Если уравнениям Лапласа и Пуассона удовлетворяет функция потенциала U, то им также удовлетворяет и функция потока Ф, которая является сопряженной с U (линии потока ортогональны линиям потенциала: (rU 0 и rФ 0).

Далее будет показано, что этим уравнениям удовлетворяет также функция векторного магнитного потенциала , которая в ряде случаев существенно облегчает задачу расчета магнитного поля. Она возникает при решении уравнений Максвелла, причем .

Если считать, что «магнитные массы» сосредоточены на поверх­ности полюса равномерно, то потенциал в прилегающей к полю­су области изменяется по следующему закону:

,

где m — поверхностная плотность магнитных масс; r —расстояние от переменной точки на поверхности ферромагнитного полюса до точки х.

Если точка ее находится вне полюса, то функция удовлетво­ряет решению уравнения Лапласа:

; .

Откуда

,

где — произвольные константы.

Это справедливо везде, кроме (т.е. r = 0);такой вид име­ет потенциал поля совокупности точечных зарядов (например, по­ле магнитных флокул) и др.

В общем случае расчеты магнитного (как и электрического) поля сводятся к решению уравнения Пуассона и, главным образом, Лапласа в граничных условиях трех типов [71]:

I − граничная задача или задача Дирихле: , т. е. задан потенциал на границе (например, м.д.с. на поверхности полюсов);

II − граничная задача или задача Неймана , т. е. задана напряженность магнитного поля на границе области (поверхности полюса);

III − граничная задача, или смешанная граничная задача: — т. е. заданы напряженность поля и функция потенциала; а и b — непрерывные функции, определенные на гра­ничной поверхности (например, поверхность полюса); — производная, взятая в точке поверхности по направлению внешней нормали к ней.

53. Для скалярного магнитного потенциала последние уравнения приобретают вид: и , соответственно.

Все эти уравнения используются при расчетах магнитных полей и магнитных систем сепараторов.

54. Таблица 1. Основные типы сил, возникающие в электромагнитных полях

№ №	Типы сил	Электро- статическое поле	Магнито- статическое поле	Электро- магнитное поле
	Кулона			____
	Сила потокосцепле- ния
	Пондеромоторная.			____
	Ампера (Лоренца)	____	____
	«Зеркального изображения»		Условно	____
	Гидростатическая «Архимеда»	EgradE	HgradH	____
	Сила электриче- ского ветра		____	____
	Сила электромаг-нитного выталкива-ния	____	____
	Электро- динамическая	____	____

где: j – плотность тока, А/м²

J – ток короны, А;

α – коэффициент поляризуемости;

k – коэффициент пропорциональности

55. Если представить себе два неподвижных электрона в точках 1 и 2, находящихся на расстоянии a друг от друга (рис. 2.17), то силовое взаимодействие между ними сводится к обычной силе Кулона:

F_э = е₁· е₂/a²

1е₁ U₁

а

e₂ U₂

2

Рис. 2.17.

Если электрон е ₁ летит со скоростью U ₁ относительно неподвижного электрона е ₂ (U ₂ = 0), то в точке 2 возникает магнитное поле с напряженностью: H₂ =U/c· e/a², где с – скорость света, а U = U ₁ - U ₂ .

Полная сила электромагнитного взаимодействия между двумя электронами составит:

F_эм = F_э + F_м = e₁ · e₂ /a² · (1 – U /c²)

Однако, если U ₁ = 0 или U ₁ = U ₂, то F _эм = F _э, т.е. остается только сила Кулона.

56. m₁=m₂ и m₁ – m₂=0 будет действовать сила притяжения. В таком случае эту магнитную силу, действующую в поле Н на эти массы, можно рассчитать с помощью закона Кулона (сила действия поля на частицу равна напряженности поля, умноженной на её заряд):

­.

В однородном поле и

На рис. 2.1 б показан реальный случай неоднородного магнитного поля, в котором один конец магнита находится в точке с напряженностью Н₁, а второй – в точке с напряженностью Н₂.

57.. , а

Откуда

Согласно свойствам пары связанных магнитных масс (m₁=m₂).

т.е. в однородном поле и Fмаг=0.

Магнитный момент элементарного контура с током (его также называют «магнитным листком»). На рис. 2.1,в показан магнитный момент контура с током (“магнитный листок ”) , т.е произведение силы тока на площадь охваченного им контура. Он же равен

магнитомеханическому

S

i

M

в

моменту частицы

(где l – длина частицы, m -

магнитная масса ее полюса).

Причем (где V – объем частицы, j –

её намагниченность. Зная это и забегая вперед,

получим доказанную достаточно строго

формулу магнитной силы:

Рис. 3.

Как известно, I=æ∙H, где æ – магнитная восприимчивость (намагниченность единицы объема в поле с напряженностью æ=1 А/м, или 1 Э). Тогда F_м= æ∙v∙H∙grad H или для удельной намагниченности χ = æ/δ, т.е.:

F_м= χ∙ G ∙H∙grad H,

где δ – плотность частицы; G – её масса.

58. Максвелла записать сле­дующее выражение для объемной плотности f _м пондеромоторных магнитных сил, действующих на единицу объема магнетика:

(2.31)

Магнитную силу, действующую на определенный объем магне­тика, можно найти через круговой поверхностный интеграл возни­кающих на этой поверхности напряжений. Составляющая этой си­лы, например, по оси х равна

, (2.32)

где — нормальное напряжение растяжения; — касательное напряжение и т. д.

Составляющую плотности пондеромоторной силы по этой же оси можно выразить следующим образом:

2.33)

Следовательно, в нашем случае тензор натяжений будет иметь вид

(2.34)
— тензор Максвелла, раскрывающий физический смысл воз­никновения пондеромоторных магнитных сил. Максвелл и ряд дру­гих авторов [37] не принимали во внимание зависимости магнит­ной восприимчивости от плотности среды.

По И. Е. Тамму эту зависимость можно учесть дополнительным стрикционным тензором Гельмгольца (Т_с), диагональные компо­ненты которого .

где δ — плотность материала магнетика.

59. .

Система натяжений, испытываемых магнетиком в магнитном поле, сводится к тяге, равной 0,5[ μ + δ (¶ μ/¶δ)] H², по направлению поля, что важно для процессов сепарации, и к давлению, равному 0,5[ μ - δ (¶ μ/¶δ)] H², в поперечном направлении, что является опре­деляющим при магнитной флокуляции. В пластичном магнетике, каким является флокула, эти натяжения придают ей удлиненную форму пряди.

Формула Максвелла в векторной форме, соответствующей фор­мулам (2.33) и (2.34), позволяет найти пондеромоторную силу, действующую со стороны магнитного поля в среде на частицу по­мещенного в это поле минерала магнетика (μ >1), ограниченного замкнутой поверхностью S:

, (2.35)

где — напряженность магнитного поля в среде в присутствии; тела; п — единичный вектор внешней нормали к поверхности тела.

Существует несколько решений уравнения (2.35) при различ­ных граничных условиях.

Для двух сред, связанных общим магнитным потоком через не­замкнутую поверхность, тяговое усилие воздействия одной среды на другую

,

где —индукция в первой среде; α — угол между и к по­верхности раздела сред.

При аналогичном потокосцеплении двух ферромагнитных тел при

.

В однородном поле на тело действует только вращающий мо­мент, который определяется также уравнением Максвелла, в соот­ветствии с уравнением (2.34):

. (2.36)

Для ферромагнитного овоида решение уравнения (2.36) дает

60. Механическая работа по массопереносу частиц во всех процес­сах магнитной сепарации всегда сопровождается некоторым сни­жением общей магнитной энергии сложной системы «полюса — ча­стицы». В целом эта энергия

при сепарации и магнитной флокуляции частиц изменяется незна­чительно, и происходит за счет одной ее составляющей — энер­гии магнитных полюсов или магнитостатической энергии в рас­сматриваемом объеме рабочего пространства:

, (2.37)

где Н, В — соответственно напряженность поля и индукция в эле­ментах системы — «полюса-частицы», заполняющих рабочее про­странство; J, N — соответственно намагниченность и коэффициент размагничивания указанных элементов рабочего пространства.

61. флокуляции частиц и притя­жения их к полюсам, можно следующим образом:

, (2.38)

где суммарная магнитостатическая энергия, соответственно магнитных полюсов сепаратора и частиц магнитной фракции; — приведенная магнитостатическая энергия полюсов со слоем магнитных частиц.

В процессах магнитной флокуляции измельченных материалов сближение частиц и последующее образование флокул сопровож­даются уменьшением магнитостатической энергии [как часть об­щего уравнения (2.38) процесса]:

.

Дата добавления: 2015-11-16