Квантование

В отличие от первоначальной теории Бора, где квантование вводилось искусственно, в теории Шредингера оно возникает автоматически. Достаточно только учесть, что физический смысл имеют лишь те решения уравнения (1), которые удовлетворяют естественным или стандартным условиям. Эти условия состоят в том, что пси-функция y(r) должна быть конечной, однозначной, непрерывной и гладкой (т.е. без изломов) во всем пространстве, даже в тех точках (линиях, поверхностях), где потенциальная энергия U (r) терпит разрыв. Эти условия не представляют чего-нибудь особенного. Это обычные требования, накладываемые на искомое решение дифференциального уравнения исходя из физического смысла волновой функции (квадрат ее модуля определяет объемную плотность вероятности пребывания частицы в области пространства).

Решения, удовлетворяющие этим условиям, оказываются возможными лишь при некоторых значениях энергии Е. Их называют собственными значениями, а функции y(r), являющиеся решениями уравнения (1) при этих значениях энергии, - собственными функциями, принадлежащими собственным значениям Е. В этом и состоит естественный и общий принцип квантования.

Собственные значения энергии Е и принимаются за возможные значения энергии в соответствующих стационарных состояниях. Эти значения энергии Е могут быть дискретными (квантованными) или непрерывными, образуя дискретный или непрерывный энергетический спектр.

В общем случае зависимости потенциальной энергии U (r) от координат, решение уравнения Шредингера представляет собой весьма громоздкую задачу. Но если мы все же нашли это решение y(r), то в принципе мы можем найти не только распределение вероятности местонахождения частицы, но также вероятности собственных значений различных физических величин (например, энергии, импульса, момента импульса).

Рассмотрим несколько простейших случаев, показывающих, что квантование - это, действительно, естественное следствие вышеприведенных условий, накладываемых на решения уравнения Шредингера. При этом никаких дополнительных предположений делать не требуется.

Частица в прямоугольной яме

Рассмотрим поведение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме U (x). Предполагается, что частица может двигаться только вдоль оси х. Ширина ямы равна l, стенки ямы бесконечно высокие (рисунок, а). Потенциальная энергия при этом имеет следующие значения: она равна нулю в интервале (0, l) и обращается в бесконечность при х = 0 и х = l.

Исходим из уравнения Шредингера (1). Для одномерного случая в пределах ямы (где U = 0) это уравнение упрощается:

(1)

Узнаем известное уравнение гармонических колебаний (например, для грузика, подвешенного на пружинке). Общее решение этого уравнения имеет вид:

y(x) = a sin(kx + a), (2)

где а и a - произвольные постоянные.

Теперь самое главное: мы должны потребовать от функции y(x), чтобы она удовлетворяла естественным (стандартным) условиям. Видно, что y(x) в виде (2) однозначна и конечна. Она должна быть еще и непрерывной, а именно, вне ямы частица быть не может, значит там y(x) = 0, и для непрерывности y-функции необходимо, чтобы при х = 0 и х = l функция (2) была бы равна нулю. Из условия

y(0) = а sina = 0

следует, что a = 0.

Из условия же y(l) = а sin kl = 0 в свою очередь следует, что

kl = ± p n, где n = 1. 2, 3,... (n = 0 отпадает, так как при этом y º 0 - частицы вообще нет). Подставив значение , получим

Энергия оказалась квантованной и ее спектр - дискретный (рисунок, б). Таким образом, собственные значения энергии найдены. Найдем теперь соответствующие им собственные функции. Для этого подставим значения k = ± p n / l в выражение

y(x) = a sin(kx + a),

тогда y(x) = a sin(p nx / l)

Для определения коэффициента а воспользуемся условием нормировки

В нашем случае оно имеет вид

вычислив интеграл, получаем а =

Таким образом, собственные функции в данном случае имеют вид

y _n (x) = sin(p nx / l), n = 1, 2, 3,...

Графики нескольких собственных функций показаны на рисунке пунктирными линиями, а распределение плотности вероятности - сплошными. Из этих графиков видно, что в низшем энергетическом состоянии (n = 1) с наибольшей вероятностью частицу можно обнаружить в середине ямы, а вероятность нахождения ее вблизи краев ямы весьма мала. Такое поведение частицы резко отличается от поведения классической частицы.

С увеличением же энергии (т.е. с ростом квантового числа n) максимумы распределения располагаются все ближе друг к другу. При очень больших значениях n картина распределения практически «сливается» и представляется равномерной - частица начинает вести себя совсем «по-классически».

Заметим, что найденные нами собственные функции удовлетворяют не всем естественным условиям: на границах ямы y-функции не гладкие, испытывают излом. Это обстоятельство является следствием того, что на границах ямы U ® ¥, чего в реальном мире не бывает. При любом конечном разрыве потенциальной энергии y-функция все равно остается гладкой. Для этого принимаются специальные меры.

Заметим также, что в отличие от классики минимальное значение энергии Е частицы в яме не равно нулю (). Это полностью согласуется с принципом неопределенности. Ведь у частицы в яме ограничена область возможных значений ее координаты, поэтому должен существовать разброс по импульсам, а, значит, отлична от нуля и энергия.

Дата добавления: 2015-07-11