Задача о движении двух частиц.

& Литература: [1], [8].

Задача о системе двух частиц относится, например, к атому водорода, мезоатому, позитронию. Как и в классической механике, она сводится к задаче об одной частице.

На рисунке 23.1 изображены две частицы. Их массы m₁ и m₂, а радиус-векторы ₁ и ₂. Величина = ₂ – ₁ (23.1)

определяет положение второй частицы относительно первой. С – центр масс системы. Его радиус-вектор = . (23.2)

Гамильтониан рассматриваемой системы

= + + U(r)

посредством замены переменных (23.1) и (23.2) можно представить в виде суммы независимых частей:

= () + (). (23.3)

Отсюда следует, что волновая функция Y( ₁, ₂) системы равна произведению собственных функций этих частей:

Y( ₁, ₂) = Y() Y(). (23.4)

Собственная функция Y() гамильтониана () описывает движение частицы массой (m₁ + m₂), которая находится в центре масс С.

Второе слагаемое в формуле (23.3) имеет вид

() = + U(), (23.5)

где m = m₁ m₂ / (m₁ + m₂). (23.6)

Собственная функция Y() этого гамильтониана характеризует движение m-точки, то есть частицы массой m (10.6) и радиус-вектором (10.1), относительно центра масс С; m-точка находится в поле, потенциальная функция U() которого описывает взаимодействие рассматриваемых частиц.

Таким образом, задача сводится к решению стационарного уравнения Шредингера для m-точки, находящейся в центральном поле:

() Y() = E Y(). (23.7)

Центральная симметрия обуславливает использование сферических координат r, q, j. В этих координатах гамильтониан (23.5) можно представить следующим образом:

() = – + + U(r), (23.8)

где выражается формулой (22.3), то есть является оператором квадрата момента импульса.

Благодаря (23.8) решение уравнения (23.7) можно искать в виде

Y() = R(r) Y _{l m} (q, j), (23.9)

где угловая часть волновой функции Y _{l m} (q, j) является собственной функцией оператора . Она определяется соотношением (22.5) и соответствует собственным значениям (22.4).

Учтя (22.4) при подстановке (23.9) и (23.8) в (23.7), получим уравнение для радиальной части R(r)волновой функции:

r R(r) + (E – U (r) – ) R(r) = 0. (23.10)

Уравнение (23.10) определяет также и энергетический спектр. Видно, что энергия E не может зависеть от магнитного квантового числа m, но может зависеть от числа l.

? Контрольные вопросы

1. Как осуществляется разделение переменных при решении задачи о системе двух частиц? К каким более простым задачам она сводится?

2. Что такое m-точка? Какой она имеет смысл для атома водорода?

3. Что такое угловая и что такое радиальная части волновой функции? Какой смысл имеют содержащиеся в них квантовые числа?

4. Какую информацию об энергетическом спектре содержит в себе уравнение Шредингера для радиальной части волновой функции?

F

Задания

23.1. Получите соотношение (23.3).

23.2. Получите выражение (23.8), используя формулу для оператора Ѳ в сферической системе координат:

Ѳ= + (23.11)

23.3. Получите уравнение (23.10).

Дата добавления: 2015-07-11