Читайте также:
|
|
При выполнении предыдущих контрольных работ мы столкнулись с тем, что ряд физических и геометрических задач сводится к нахождению производных от функций. Наряду с этим ряд задач сводится к обратной операции–отысканию функции по ее производной. Эта операция называется интегрированием, следовательно, интегрирование должно заключаться в следующем: задана производная –требуется найти функцию.
Определение. Функцию , заданную на промежутке , называют первообразной для функции , заданной на том же промежутке, если для всех выполняется равенство (или, что то же самое, равенство ). Например, для функции первообразной будет функция , т. к. для всех ; для функции первообразной будет функция , т.к. для всех ; для скорости точки первообразной будет путь , который прошла эта точка, т. к. , и так далее.
Так как первообразная имеет производную, следовательно, она непрерывна. Но верно и более глубокое утверждение: если функция непрерывна, то она имеет первообразную. В интегральном исчислении мы будем иметь дело только с непрерывными функциями.
Если функция является первообразной для функции на промежутке , то и любая из функций вида является первообразной для на том же промежутке. Это следует из того, что
.
Нетрудно убедиться в верности и обратного утверждения: если есть первообразная , то все первообразные для содержатся в формуле .
Определение. Совокупность всех первообразных для заданной функции на промежутке называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается так: (читается: ”интеграл эф от икс дэ икс”);
q называется подынтегральной функцией;
q произведение – подынтегральным выражением;
q знаком интеграла;
q – переменной интегрирования.
Если есть первообразная для , то (C –произвольная константа). Например,
Из определения интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления соответствует формула в интегральном исчислении, так что в частности вся таблица производных может быть переписана в виде таблицы интегралов:
I. где ; II. ;
III. ; IV. ;
V. ; VI. ;
VII. ; VIII. ;
IX. ; X. ;
XI. ; XII. ;
XIII. ; XIV. ;
XV. XVI. .
Займемся теперь основными свойствами неопределенных интегралов и правилами их вычисления.
Примем без доказательства свойства неопределенного интеграла:
1.
2.
3.
4. ;
5. (k –постоянная);
6. .
Дата добавления: 2015-10-21; просмотров: 97 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Задание 3. Некоторые квантовомеханические системы. Тепловое излучение | | | Интегрирование подстановкой |