Интегрирование подстановкой

Замена переменной (подстановка) в интеграл производится по формуле

; (1.1)

при этом говорят, что в интеграле слева сделана замена переменной (подстановка) . Формулой (1.1) можно пользоваться следующим образом: подобрать функцию так, чтобы, подставив вместо подынтегральное выражение, получить более простой интеграл.

Пример 1. Найти

Решение. С целью упрощения подынтегрального выражения положим . Отсюда ; ; ; ; ; . Заменив всюду под интегралом на , получим

При вычислении воспользовались формулой

Пример 2. Найти

Решение. Заметим, что Целесообразно ввести переменную . Тогда ; ; . Заменив всюду под интегралом на , на , получим

Пример 3. Найти

Решение. Заметим, что , т.к.

. Целесообразно ввести переменную . Заменив всюду под интегралом на , на , получим

Пример 4. Найти

Решение. Заметим, что , т.к. . Целесообразно ввести переменную . Тогда . Заменив всюду под интегралом на , на ; получим

.

На основании вышеизложенного можно ввести формулу

, (1.2)

где – первообразная функции .

Тогда

Из формулы (1.2) получим

1. .

2. .

3. .

Дата добавления: 2015-10-21