Функция полезности

Проигрыш Выигрыш

Вредность

проигрыша

Рисунок 1 - График функции полезности риска при ровном отношении

При ровном отношении к риску полезность выигрыша равна этой сумме П(C) = C, П(-в) = - в.

Ожидаемый выигрыш страховой компании может быть таким:

- если авария произойдет, то страховая компания должна выплатить премию и удовлетвориться получением страхового взноса, ее выигрыш отрицателен и равен р (- С + в);

- если аварии не будет, то выигрыш страховой компании за счет страхового взноса, который положителен, составит (1 - Р) в.

Страховая компания будет идти на риск, если общая сумма ее выигрыша положительна:

р (- С + в) + (1 – Р) в > 0 (5)

при в > рС (условие заключения договора страховой компанией).

Полезность риска при страховании имущества для его владельца может быть определена так. Если заключается договор о страховании, то полезность выигрыша П(-в) равна риску потери сравнительно небольшой суммы страхового взноса. Если договора нет, то полезность выигрыша составляет рП(-С), т.е. равна риску потерять значительно большую сумму. идти на риск страхования следует, если П(-в)-РП(-С) > 0, т.е. риск оправдан, если рискуя меньшим, избегаем больших потерь.

При ровном отношении к риску из неравенства П(-в) – рП(-С) > 0 следует, что -в + рС > 0 и в < рС, а это неравенство противоречит условиям страхования (в < рС), поэтому при ровном отношении к риску страхования не будет вовсе, риск не имеет смысла.

Но ровное отношение к риску не только не единственное, но и не самое распространенное. Люди оценивают полезность выигрыша и вредность проигрыша не пропорционально их величине. Для осторожного (не расположенного к риску) отношения характерно опасение больших проигрышей.

Вредность больших проигрышей преувеличивается, а соответствующая полезность выигрышей преуменьшается. Соответствующий риск называется осторожным. Функция полезности при осторожном отношении к риску, показанная на рисунке 2, имеет вид: П(в) = 1-е ^–в. П(в) – вероятность появления не менее одного выигрыша, если выигрыш – редкое событие. Формула получена на основе теории вероятностей.

При осторожном отношении полезность общего результата для владельца имуществом складывается из полезности выигрыша и проигрыша и равна

П(в) = П(-в) – р · П(-С) = 1-е ^b – р(1-е^с) (6)

На риск следует идти, если общий результат окажется положительным, т.е. П(в) > 0:

1-е^b-р(1-е^с) > 0;

-p(1-e^c) > e^b - 1;

p(e-1) > e^b - 1;

P > (e^b-1) / (e^c-1).

Это условие страхования для имущества при осторожном отношении к риску, а p < b / c – условие заключения договора страховой компанией.

Отсюда следует, что страхование состоится, если вероятность аварии равна

b / c > p > (e^b - 1) / (e^c-1) (7)

При предполагаемой вероятности аварии осторожный владелец будет страховать имущество при определенном соотношении между размером страхового взноса и страховой премии.

Смелое (расположенное к риску) отношение характерно тем, что малые выигрыши считаются почти бесполезными, а полезность больших выигрышей не пропорционально увеличивается. Вероятность больших проигрышей сильно преуменьшается. Соответствующий риск называется смелым и представлен на рисунке 3.

Функция полезности риска при смелом отношении имеет вид

П(В) = е^b-1 (8)

Она получена по формуле сложных процентов.

При смелом отношении к риску решение о страховании будет принято владельцем имущества, если общая полезность выигрыша и проигрыша будет положительна:

П(в) = П(-в) – р · П(-С) > 0;

e^-b - 1 - p(e^-c-1) > 0;

p < (e^-b-1) / (e^-c-1).

Условие страхования при смелом отношении к риску для владельца имущества таково:

p < (e^-b-1) / (e^-c-1) (9)

Полезность

выигрыша

Дата добавления: 2015-10-13