Уравнение прямой на комплексной плоскости

Уравнение прямой на комплексной плоскости, разбиение плоскости на две полуплоскости. Прямая на комплексной плоскости используется очень часто при различных электротехнических расчетах, связанных с ограничением каких либо режимов, при определении пределов функционирования устройств релейной защиты а автоматики и многих других.

На рис 1.7а изображена прямая, пересекающая координаты в точках х R, являющийся в общем случае функцией угла φ, скользит по этой прямой. Величина, обозначенная как S0 R на S0 осуществляется через разность углов φ и α с учетом их знака: ₀ и у₀, и представленная в общем виде. Вектор направлена перпендикулярно к изображенной прямой, которая определяет разделение всей комплексной плоскости на две полуплоскости. Уравнение этой прямой на комплексной плоскости получается следующим образом.

Действительно, при отрицательном угле α и положительном угле φ происходит суммирование углов (например +30⁰ – (-40⁰) =+70⁰ .

С другой стороны комплексная величина z определяется через вектор R:

Подставляя значение R в, имеем окончательно:

При необходимости нахождения значений точек пересечения прямой с осями координат, прежде всего находится величина угла β (рис.1.7а):

теперь легко находятся значения точек пересечения:

Отсюда получаются два чрезвычайно полезных случая. Первый случай α = 0 (рис.1.7б), прямая находится справа от вертикальной оси, причем угол φ может изменяться от 0 до 2π. Уравнение упрощается:

Угол φ изменяется от 0 до π, образуется верхнюю горизонтальную линию. Еcли же угол α = -π/2 (или +3π/2), то образуется нижняя горизонтальная линия.

Прохождение искомой прямой через начало координат. На рис. 1.8 изображен именно такой случай. Он характеризуется тем, что S → 0 и

сos(φ - α) → 0. Возникает неопределенность типа 0:0, которая требует раскрытия. Замечаем, что при S → 0 угол β→φ (они итак равны, но в пределе полностью совпадают) и φ – α → π/2. Кроме того, вводим коэффициент k → 0. C учетом принятого, неопределенность раскрывается следующим образом:

Одновременно принимаем S = k· S0,и получаем:

Дата добавления: 2015-08-21