Свойства определителей

1) При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

2) При перестановке двух строк или двух столбцов знак определителя меняется на противоположный.

3) Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковых строки, то он равен нулю.

4) Общий множитель всех элементов одного столбца или одной строки можно вынести за знак определителя.

5) Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то и сам определитель равен нулю

6) Если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7) Пусть каждый элемент i -го столбца или j -ой строки определителя есть сумма двух чисел. Тогда равен сумме двух определителей, из которых один в i -ом столбце (j -ой строке) имеет первые слагаемые, а другой – вторые слагаемые суммы; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

8) Определитель не изменится, если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель .

9) Для каждого определителя порядка , имеет место разложение по строке:

или по столбцу:

3. Обратная матрица и ее построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Матричный метод решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений.

Алгебраическим дополнением называется число:
Если для матрицы A существует такая матрица , что где – единичная матрица, то матрица называется обратной для матрицы A. Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Находим сначала детерминант матрицы А, который должен быть не равен 0, значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: , где А_ij(i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а_{i j} исходной матрицы.

Матричный метод. Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы совпадает с вектором C = A^-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A^-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и с помощью элементарных преобразований.

Рассмотрим прямоугольную матрицу А.. Выберем некоторые k строк и некоторые k столбцов матрицы. Из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, составим матрицу. Определитель полученной матрицы называется минором.

Рангом матрицы A называется наибольший порядок ее ненулевого минора.

Для ранга матрицы A используют следующие обозначения: или просто r, когда ясно, о какой матрице идет речь.

Базисный минор. Говорят, что некоторый столбец (некоторая строка) есть линейная комбинация других k столбцов (строк), если его (ее) можно представить в виде суммы этих k столбцов (строк), умноженных соответственно на числа .

Будем говорить, что столбцы матрицы линейно зависимы, если хотя бы один из них есть нетривиальная (в которой хотя бы один из коэффициентов не равен нулю) линейная комбинация остальных. В противном случае столбцы называют линейно независимыми.

Аналогично определяется линейная независимость строк.

Окаймляющим минором для минора M порядка k матрицы A назовем минор порядка k + 1 этой матрицы, который содержит минор M.

Базисным минором матрицы A будем называть ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы A.

Дата добавления: 2015-08-21