Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка

Пусть дана поверхность второго порядка своим уравнением

(1)

относительно некоторой прямоугольной системы координат Oxyz. Всегда существует по крайней мере одна прямоугольная система координат Ox'y'z', оси которой имеют глав­ные направления. В этой системе координат уравнение поверхности (1) имеет вид (1')

Начнем с центрального случая: δ≠0, r = 3. В этом случае λ₁≠0, λ₂≠0, λ₃ ≠0. Если перенести начало координат О системы Ox'y'z' в единственный центр поверхности (1), то уравнение (1') примет вид

(I)

Помня, что большой и малый детерминанты Δ и δ суть ортого­нальные инварианты, можем для их вычисления воспользоваться правой частью уравнения (I), что дает δ = λ₁λ ₂λ ₃, Δ = λ₁λ ₂λ ₃ а'_о, т. е. а' _о = Δ / δ.

Итак, окончательный вид уравнения (1) в выбранной нами прямо­угольной системе координат есть (Пишем снова х, у, z вместо х", у", z".)

(I*)

Здесь все коэффициенты однозначно (с точностью до общего числового множителя k) определены уравнением (1) поверхности, в какой бы исходной прямоугольной системе координат Охуz мы его ни задавали. Если та же поверхность задана в той же исходной системе координат другим уравнением: G(x, у, z) = 0,

то в силу теоремы единственности все коэффициенты многочлена G (х, у, z) получаются из соответствующих коэффициентов многочлена F (х, у, г) умно­жением на некоторое число k ≠ 0. Так как при переходе к новой системе координат О'х'у'г' многочлены F и G тождественно преобразуются соответ­ственно в многочлены F'(х', у', z') и G'(x', у', z'), то и для соответствую­щих приведенных многочленов F' и G' сохраняется соотношение G' = kF', так что, в частности, характеристические числа многочлена G (т. е. квадратичной формы его старших членов) получаются из характеристических чисел многочлена F умножением на то же k; то же справедливо и для отноше­ния Δ / δ(при δ≠0). Последнее ясно и непосредственно: так как детерми­нант Δ — четвертого порядка, а δ —третьего, то при умножении всех коэф­фициентов многочлена F (х, у, z) на k детерминант Δ умножается на k⁴, а детерминант δ — на k³, значит, Δ / δ умножается на k. Отсюда следует, в частности, что, умножая, если нужно, обе части уравнения F (х,у,г)=0 на k =-1, можно всегда достигнуть того, чтобы (при δ≠0) число Δ / δ было отрицательным (или равным нулю).

Теперь имеется две возможности: Δ = 0 и Δ ≠ 0. Начнем с первой.

1°. Δ=0. Получаем конус второго порядка вещественный, если среди характеристических чисел λ1,λ 2,λ ₃ имеются числа разных знаков (Здесь целесообразно привести так называемое правило Декарта для определения знаков корней алгебраического уравнения, все корни которого— действительные числа. Это правило в применении к уравнению третьей степени с действительными корнями можно сформулировать так. Пусть дано уравнение ax³+bx²+cx+d = 0. Назовем «переменой знака» пару соседних коэффициентов в этом уравнении (т. е. (а, b ), (b, с) или (с, d), состоящую из двух чисел различных знаков. Оказывается, что число положительных корней уравнения третьей степени (все корни которого действительны) равно числу перемен знака в этом уравнении. При этом корни считаются вместе с их кратностями. Умножая, если понадобится, обе части уравнения (1) на —1, можем предположить, что среди его коэффициентов λ1,λ 2,λ ₃ имеется два положительных и один отрицательный. Изменив, если потребуется, наименования осей координат и обозначая положительные коэффициенты через 1/a²,1/b², а отрицательный через -1/c², можем представить при Δ = 0 уравнение (I*) в виде

(причем здесь и всюду дальше берем а, Ь, с положительными). Это каноническое уравнение вещественного конуса. Заметим, что равенство λ1=λ ₂ означает а = b; тогда мы имеем круговой конус или конус вращения, его сечения плоскостями z = h суть окружности; если λ1=λ 2=-λ ₃, то уравнение конуса пре­вращается в

x₂+y²-z²=0

—имеем круговой конус, образующие которого наклонены к его оси под углом π/4.

Если все характеристические числа —одного знака, мы можем переписать уравнение (I*) при Δ = 0 в виде

Это каноническое уравнение мнимого конуса.

2°. Пусть теперь Δ≠0; это значит, что мы имеем невырожден­ную центральную поверхность.

Переписываем тогда уравнение (I*) в виде

(I**)

Возможны четыре случая (Пишем снова х, у, z вместо х", у", z".)

а) Все три характеристических числа имеют один и тот же знак, и Δ > 0, тогда можем положить

причем а, b, с всегда считаем положительными. Переписываем уравнение (I**) в виде

— получили каноническое уравнение мнимого эллипсоида.

б) Все три характеристических числа имеют один и тот же знак, и Δ < 0. Тогда полагаем

—получаем каноническое уравнение вещественного эллипсоида

в) Характеристические числа имеют разные знаки, и Δ < 0. Предположим, что числа λ₁и λ₂имеют одинаковые знаки, а λ₃ имеет знак, им противоположный. Полагаем

Получаем уравнение

— каноническое уравнение двуполостного гиперболоида. И наконец,

г) Характеристические числа имеют разные знаки, и Δ > 0. Предположим снова, что числа λ₁ и λ₂ имеют одинаковые знаки, а число λ₃ — знак, им противоположный. Тогда, полагая

придаем уравнению (I**) вид

Это каноническое уравнение однополостного гиперболоида.

Итак, каждая центральная поверхность второго порядка естьлибо конус (действительный или мнимый), либо эллипсоид (действи­тельный или мнимый), либо гиперболоид (двуполостный или однополостный). Положительные числа а, b, с в каноническом уравнении централь­ной поверхности, являющиеся ее полуосями, выражаются через характеристические числа λ₁,λ₂,λ₃ и детерминанты Δ, δ, т. е. через ортогональные инварианты многочлена F(x, у, z), и, значит, не меняются при переходе от прямоугольной координатной системы Oxyz, в которой задано уравнение F(x, у, z) = 0 рассматриваемой поверхности, к любой другой прямоугольной координатной системе. Но они не зависят также и от того, каким из уравнений, опреде­ляющих в первоначальной системе Oxyz данную поверхность, мы воспользовались. В самом деле, уравнения эти отличаются друг от друга только числовым множителем k. Но при умножении всех коэффициентов многочлена F(x, у, z) на данное число k на это же k умножаются и Δ / δ, и все характеристические числа λ₁,λ₂,λ₃; поэтому a², b², с², значит, и а, b, с остаются неизменными. Итак, полуоси центральной поверхности не зависят ни от выбора прямо­угольной системы координат, ни от того уравнения (из числа опре­деляющих данную поверхность), которым в этой системе координат мы нашу поверхность задали; они зависят только от самой поверх­ности как геометрической фигуры, т. е. как множества точек в пространстве.

Обратно, если дано наименование центральной поверхности и ее полуоси а, b, с, то поверхность вполне определена с точностью до ее положения в пространстве. В самом деле, две одноименные поверх­ности с одними и теми же полуосями имеют одно и то же каноническое уравнение; значит, отличаться они могут лишь тем, что первая из них этим уравнением определена в одной прямоугольной коорди­натной системе, а вторая — в другой; но, совмещая первую коорди­натную систему со второй посредством (собственного или несобствен­ного) движения, мы совместим одну из наших поверхностей с другой. Итак, две центральные поверхности тогда и только тогда изометричны между собою, когда они имеют одно и то же наименова­ние и когда их полуоси (соответствующие членам канонического уравнения данных знаков) соответственно равны между собою.

Заметим, что (как непосредственно следует из определений чисел а, b, с) во всех рассмотренных случаях два характеристи­ческих числа равны между собою тогда и только тогда, когда соответствующие две полуоси центральной поверхности равны и входят в каноническое уравнение поверхности с одним и тем же знаком.

Мы видели, что равенство двух каких-либо полу­осей, например а=b, эллипсоида означает, что мы имеем эллип­соид вращения (сферу, если а=b=с). Поэтому признаком эллип­соида вращения является равенство двух характеристических чисел, а признаком сферы — равенство λ₁ = λ₂ = λ₃. Точно так же однополостный гиперболоид является гиперболоидом вращения, если а² = b², т. е. λ₁₌ = λ,₂; то же верно и для двуполост­ного гиперболоида, и для конуса. Итак, равенство двух характери­стических чисел необходимо и достаточно для того, чтобы централь­ная поверхность была поверхностью вращения, а равенство λ₁ = λ ₂ = λ₃верно для сферы (действительной или мнимой), и только для нее.

Переходим к случаю поверхности (1) ранга r=2. Покажем, что в этом случае уравнение (1) определяет: при Δ≠0 (т. е. R = 4) параболоид,

эллиптический, если Δ < 0, гиперболический, если Δ > 0, а при Δ = 0, R = 3—«центральный» (т.е. эллиптический или гипер­болический) цилиндр, вырождающийся при R = r=2 в пару пересе­кающихся плоскостей.

Итак, пусть r = 2. Тогда среди характеристических чисел много­члена F(x,y,z) два, положим λ₁ и λ₂, отличны от нуля и λ₃ =0.

В некоторой прямоугольной системе координат Ox'y'z' (с тем же началом, что и исходная система Oxyz) уравнение (1) принимает вид

Имеем

(2)

откуда заключаем, что Δ≠0 тогда и только тогда, когда а' ₃≠0. Рассмотрим сначала случай, когда Δ≠0 и, следовательно, а'₃ ≠0. Перенос начала координат О в произвольную точку О' = (х'₀, у' ₀, z'₀) т. е. преобразование

переводит многочлен F' {х', у', z') в

Определяя х'₀, у'₀ и z'₀ из уравнений

получаем

Итак, в надлежаще выбранной прямоугольной системе координат уравнение всякой поверхности ранга r=2, R = 4принимает вид

(II)

Из (2) получаем

Так как а'₃, — вещественное число, то Δ имеет всегда знак, про­тивоположный знаку λ₁λ₂. Другими словами, Δ положителен, если характеристические числа λ₁и λ₂ разных знаков (гиперболический случай), и отрицательно, если λ₁и λ₂ одного и того же знака (эллип­тический случай). Изменив, если нужно, положительное направление оси z на противоположное, всегда можем предположить, что знак а'₃ противоположен знаку λ₁так что уравнение (II) можно переписать в виде (мы отбрасываем штрихи при координатах)

(II*)

где— а'₃ / λ₁ есть положительное число, которое мы обозначим через р:

Число— а'₃ / λ₂ положительно, если знак λ₂совпадает со знаком λ₁ (т. е. в эллиптическом случае, Δ<0), и отрицательно, если λ₁ и λ₂разных знаков (т. е. в гиперболическом случае, Δ > 0). Поэтому, полагая в обоих случаях

имеем:

q = – а'₃ / λ₁ в эллиптическом случае, q = а'₃ / λ₁ в гиперболическом случае.

Соответственно получаем: в эллиптическом случае уравнение

эллиптического, а в гиперболическом случае уравнение

гиперболического параболоида. Параметры р и q параболоида выра­жаются через ортогональные инварианты Δ, λ₁,λ₂и поэтому не зависят от той прямоугольной системы координат, в которой было задано первоначальное уравнение (1) параболоида. Они не меняются при умножении многочлена F(x, y,z) на числовой множитель k (так как при этом Δ умножается на k⁴, а λ₁ и λ ₂ — на k), поэтому они зависят лишь от самой поверхности (рассматриваемой как множество ее точек) и в свою очередь определяют её однозначно (с точностью до ее положения в пространстве). Равенство λ₁ = λ ₂означает, что мы имеем эллиптический парабо­лоид с равными параметрами р=q, т. е. параболоид вращения.

Пусть теперь Δ = 0, значит, и a₃ = 0. Тогда большой ранг R ≤ 3. Уравнение (I') в этом случае приобретает вид

(3)

Применим к этому уравнению преобразование параллельного переноса

Тогда будем иметь

(4)

где

Определяя х' ₀и у' ₀из уравнений

приведем уравнение (4) к виду

(III)

причем R=3, если а'₀≠0, и R = 2, если а'₀ = 0. Уравнение (1) задает (в системе координат O'x"y"z") цилиндр над лежащей в пло­скости z" = 0 центральной кривой второго порядка, имеющей (в прямо­угольной системе координат О'х"у") тоже уравнение (III). При R=3 (т. е. а'₀≠0) эта кривая нераспадающаяся, при R=2 она распа­дается на пару прямых, а цилиндр (III) вырождается в пару пересе­кающихся плоскостей. Любая плоскость z"=h пересекает цилиндри­ческую поверхность (III) по кривой, имеющей то же уравнение (III), в плоскости z"=h (в системе координат с началом О" = (0, 0, h) и теми же направлениями осей х" и у", что и в координатной си­стеме O'x"y"z"). Все эти кривые конгруэнтны между собою; доста­точно знать одну из них, чтобы цилиндрическая поверхность (III) была определена. Пусть R = 3. Тогда полуоси a, b кривой (III) (назы­ваемые также полуосями цилиндрической поверхности (III)), вместе с ее наименованием, полностью определяют поверхность (III) с точ­ностью до ее положения в пространстве и в свою очередь всецело определяются ею. Чтобы определить полуоси а, b по первоначаль­ному уравнению (I), надо только определить а' ₀. Для определения числа а' надо найти какую-нибудь точку прямой центров (из системы определяющих ее уравнений в исходной системе координат) и подставить координаты этой точки в левую часть первоначального уравнения поверхности. Полученный результат не зависит от выбора точки на прямой центров.

Переписывая уравнение кривой (III) в каноническом виде, мы полу­чаем и каноническое уравнение

эллиптического, соответственно гиперболического, цилиндра, а также

(если кривая (III) есть мнимый эллипс) уравнение мнимого эллиптического цилиндра в прямоугольной системе коорди­нат O'x"y"z". Снова равенство λ₁ = λ₂ является признаком того, что наша цилиндрическая поверхность есть поверхность вращения, т. е. так называемый круглый цилиндр; его сечения плоскостями, перпен­дикулярными к образующим, суть окружности.

Пусть теперь R = r = 2; тогда а ' ₀ = 0 и уравнение (III) превра­щается в уравнение

задающее (в прямоугольной системе координат O'x"y"z") пару пере­секающихся плоскостей (вещественных, если λ₁и λ₂ разных знаков; мнимых, если λ₁и λ₂ одного знака). При этом отношение λ₁/λ₂, характеризующее двугранный угол между плоскостями, полностью опре­деляется этой парой плоскостей и в свою очередь полностью ее определяет.

Переходим к поверхностям ранга r = 1. Для этих поверхностей лишь одно характеристическое число, пусть λ₂, отлично от нуля и λ₁=λ₃=0. Если ось Оу' прямоугольной системы координат направить по единственному главному направлению, соответствующему отличному от нуля корню характеристического уравнения, а оси Ох' и Oz' взять под прямым углом в плоскости, перпендикулярной к уже выбран­ной оси Оу' (а в остальном—произвольно), то во всякой такой системе координат уравнение нашей поверхности будет иметь вид

(5)

Для поверхности ранга r =1 всегда R ≤3.

Пусть R = 3; тогда по крайней мере один из коэффициентов а' ₁, а'₃ отличен от нуля (иначе в матрице коэффициентов многочлена F' (х', у', z') все детерминанты третьего порядка будут равны нулю).

Пусть, например, а'₃≠0. Покажем, что в рассматриваемом случае поверхность (5) будет параболическим цилиндром. Наша задача сейчас—найти такую прямоугольную систему координат, в которой уравнение (5) примет канонический вид

у ² = 2рх. (IV)

Для этого произведем поворот координатной системы Ox'y'z' вокруг оси у' на некоторый, пока произвольный, угол α, т. е. сделаем ортогональное преобразование координат

чтотождественно преобразует левую часть уравнения (5) в

Приравниваем коэффициент при z" нулю, что дает тригонометриче­ское уравнение

из которого и определяем α:

В полученной прямоугольной системе координат уравнение (5) при­обретает вид

гдеположено

При этом b≠0 (иначе матрица коэффициентов уравнения (6) имела бы ранг ≤2 вопреки предположению, что R = 3).

Уравнение (6) есть уравнение цилиндра над параболой, лежащей в плоскости z" = 0 и имеющей (в системе координат Ох"у") то же уравнение (6). Остается только произвести сдвиг начала координат (в той же плоскости Ох"у"). Мы получим после этого сдвига прямо­угольную систему координат, в которой уравнение (6) параболы, а следовательно, и построенного над нею цилиндра примет канониче­ский вид (IV). Поставленная задача решена.

Число р, являющееся параметром параболы, получающейся при сечении параболического цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его образующим, называется параметром параболического цилиндра. Это число определено самим цилиндром и в свою очередь опреде­ляет его с точностью до его положения в пространстве.

Пусть теперь R ≤2. Тогда поверхность является парой парал­лельных (в широком смысле) плоскостей π₁, π₂; канонической систе­мой координат будет произвольная прямоугольная система координат, одна из осей которой (положим, ось у) перпендикулярна к плоско­стям π₁, π₂, а две другие оси расположены в средней плоскости между этими плоскостями. Тогда уравнение пары плоскостей π₁ , π₂ будет

y=±b (7)

К этому результату можно прийти и из рассмотрения уравнения (5), в котором теперь непременно а₁=а₃ = 0 (если хотя бы один из коэффициентов а_ь а₃ был ≠ 0, то мы имели бы параболический цилиндр и, значит, R=3).

Итак, уравнение (5) имеет в нашем случае вид

Посредством сдвига начала координат по оси ординат преобразуем его в

(V)

что эквивалентно каноническому уравнению (7).

Общим итогом этого параграфа является

Теорема 3. Каждая поверхность, определяемая уравнением вто­рой степени с вещественными коэффициентами, принадлежит к одному из следующих семнадцати классов:

1. Эллипсоиды вещественные.

2. Эллипсоиды мнимые.

3. Гиперболоиды однополостные.

4. Гиперболоиды двуполостные,

5. Конусы вещественные,

6. Конусы мнимые,

7. Параболоиды эллиптические,

8. Параболоиды гиперболические.

9. Цилиндры эллиптические вещественные.

10. Цилиндры эллиптические мнимые.

11. Цилиндры гиперболические.

12. Цилиндры параболические.

13. Поверхности, распадающиеся на пару пересекающихся веще­ственных плоскостей.

14. Поверхности, распадающиеся на пару пересекающихся мнимых сопряженных плоскостей.

15. Поверхности, распадающиеся на пару (различных) параллель­ных вещественных плоскостей,

16. Поверхности, распадающиеся на пару (различных) параллель­ных мнимых сопряженных плоскостей.

17. Поверхности, распадающиеся на пару совпадающих веществен­ных плоскостей.

---

Дата добавления: 2015-08-09