Задача 2. Исследовать форму и расположение относительно системы координат поверхности:

Исследовать форму и расположение относительно системы координат поверхности:

4 – z = x² + y²

Решение. Применим метод сечений. Полагая в данном уравнение z = h получим

x²+y²=4-h

отсюда следует что 4- h должна быть величиной неотрицательной. Пусть 4 – h = R*R, получим в сечении плоскостью z = h линию:

x²+y²=R²; z = h

Эта линия, очевидно, является окружностью радиуса R с центром на оси Oz. Следовательно данная поверхность является поверхностью вращения вокруг оси Oz. Чтобы выяснить вращением какой линии она получается, пересечём поверхность плоскостью x = 0. В сечении получится парабола на плоскости yOz

y²=4-z; x=0;

Вершина её лежит в точке (0, 0, 4) а направлена парабола в отрицательную сторону оси Oz. Таким образом исследуемая поверхность параболоид вращения:

Рис. 18

Задача 3.

Показать, что уравнение:

Определяет однополостный гиперболоид вращения вокруг оси Oy.

Решение. Рассмотрим сечение данной поверхности плоскостями y = h перпендикулярными оси Оу. В сечении получим линию:

, где

Таким образом, в любом сечении, перпендикулярном оси Оу, получается окружность радиуса R, то есть данная поверхность есть поверхность вращения вокруг оси Оу. Выясним, вращением какой линии получена эта поверхность. Пересечём поверхность какой-либо плоскостью, проходящей через ось вращения, например плоскостью хОу, в сечении получится линия:

Эта есть гипербола с полуосями а, b. Вращаясь вокруг оси Оу, она и образует данную поверхность, являющуюся поэтому однополостным гиперболоидом вращения вокруг оси Оу.

Рис. 19

Дата добавления: 2015-08-09