Задача 4. Найти точки пересечения эллипсоида

Найти точки пересечения эллипсоида

с прямой

при

при каком значении а прямая касается эллипсоида?

Решение. Запишем параметрические уравнения данной прямой:

x = 1; y = 1 + t; z = a*t.

Подставляя значения x, y, z в уравнение эллипсоида:

получим квадратное уравнение для t:

из которого находим значения параметра t, отвечающие точкам пересечения прямой с эллипсоидом:

при получатся два значения:

следовательно точки пересечения следующие:

Если прямая касается эллипсоида, то должно быть , а это произойдёт

В том случае, если подкоренное выражение равно нулю.

Значит при прямая является касательной.

Задача 5.

Исследовать сечения эллипсоида

плоскостями

Решение. Рассмотрим сначала сечение эллипсоида плоскостями z = h, где

Подставляя в уравнение эллипсоида получим:

Отсюда

.

Вводя обозначения

и

видим, что в сечении получится эллипс

С полуосями . При получаем

Таким образом, наибольший получается в сечении плоскостью хОу. Если поднимать или опускать эту плоскость вдоль оси Oz параллельно плоскости xOy, то размеры сечений уменьшаются до тех пор, пока при z=3 z=-3 не превратятся в точку (0,0,3) или (0, 0, -3). При дальнейшем увеличении h плоскость эллипсоида пересекать уже не будет, так как корень, входящий в выражения для станет мнимым.

В сечении плоскостями, параллельными xOz и yOz, будут также получаться эллипсы. В частности, в сечении координатными плоскостями

y = 0 и x = 0 получатся наибольшие по размерам эллипсы:

Проведённое исследование позволяет сделать вывод, что эллипсоид является

овальной поверхностью:

Рис. 20

Дата добавления: 2015-08-09