Хвильові рівняння для однорідних плоских хвиль

Припустимо що в просторі відсутні заряди, тобто . При цьому хвильове рівняння (29) для вектора спрощується:

. (31)

Оскільки вектор заданий сумою проекцій, то рівнянню (31) відповідає система трьох рівнянь:

(32)

Використовуючи ознаки однорідних плоских хвиль, систему (32) запишемо у вигляді:

(33)

Аналогічним чином змінимо хвильове (30) рівняння відносно складових вектора :

(34)

Рівняння (33) та (34) мають однакову структуру і однакові загальні розв’язки. Це однорідні диференційні рівняння другого порядку. Їх елементи – комплексні амплітуди – містять показникові функції. Тому загальні розв’язки хвильових рівнянь доцільно виразити також через показникові функції. Отже перед другим доданком рівнянь (33) і (34) необхідно знак "плюс" змінити на "мінус". Позначимо , тоді:

. (35)

Рівняння (33) та (34) набудуть вигляду:

(36)

(37)

(38)

(39)

Розв’язки цих рівнянь визначають проекції векторів та в будь-якій точці осі в будь-який момент часу . Якщо серед рівнянь (36) – (39) будуть взаємозв’язані пари, то тоді можна розв’язувати тільки два рівняння. Зв’язок між векторами та встановлюється першим та другим рівнянням Максвела. Використаємо перше:

.

Враховуючи те, що вектори та задаються геометричною сумою своїх проекцій, та використовуючи запис ротора в декартовій системі координат, запишемо перше рівняння Максвела у вигляді сукупності трьох скалярних рівнянь:

(40)

Враховуючи ознаки однорідних плоских хвиль, спростимо вирази (39):

(41)

Отже, проекція зв’язана з , а рівняння (36), (39) та (41) характеризують горизонтально-поляризовану хвилю. Рівняння (36) – (38) описують скісно-поляризовану хвилю.

13. Поширення однорідних плоских хвиль в напівпровідних середовищах

Розв’язки кожного з рівнянь (36) – (41) відомі з курсу математики. Розглянемо, наприклад, розв’язок рівняння (36):

. (42)

Комплексний коефіцієнт (35) маємо у вигляді:

. (43)

Тоді з співвідношення (3.42) одержимо:

. (44)

Переходячи до миттєвих значень, зведемо (44) до вигляду

(45)

Оскільки , то перший доданок характеризує хвилю, яка відходить від початку координат, тобто пряму чи падаючу хвилю з амплітудою , що зменшується відповідно до збільшення в залежності від величини коефіцієнта . Отже, – коефіцієнт загасання.

Коефіцієнт характеризує відставання повної фази в залежності від , тому називається коефіцієнтом фази. Таким чином, величина (43) характеризує комплексний коефіцієнт поширення хвилі.

Розглянемо другий доданок (45). Оскільки , то він характеризує хвилю, яка рухається до початку координат, тобто це зворотна або відбита хвиля. Значення та – початкові фази падаючої та відбитої хвиль.

Розв’язування рівнянь (37) – (39) аналогічні розв’язку рівняння (45). Наприклад, з (39) виходить, що

(46)

або для миттєвих значень:

. (47)

Тепер з’ясуємо залежність від . Зв’язок між ними визначається співвідношенням (42), тому підставимо в нього значення (42) та (46) з урахуванням (43). Якщо продиференціювати та згрупувати подібні члени, то отримаємо:

. (48)

Для будь-яких значень ця рівність має місце тільки в тому випадку, якщо кожний множник в круглих дужках дорівнює нулю, тобто рівність (48) розкладається на рівняння:

; (49)

. (50)

Зі співвідношення (49) виходить, що комплексні амплітуди та зв’язані між собою комплексним коефіцієнтом пропорційності , який називається хвильовим опором

.

Використовуючи відношення (41), отримаємо:

.

Враховуючи, що величина визначається співвідношенням (28), одержимо ще декілька форм запису хвильового опору – в декартовій та полярній системах координат. В декартовій системі:

.

Таким чином, дійсна частина хвильового опору визначається співвідношенням

,

а уявна – співвідношенням

.

В полярній системі координат:

.

При цьому модуль та фаза хвильового опору:

;

.

Значення модуля характеризує відношення амплітуд та , а фаза – зсув за фазою між миттєвими значеннями та падаючої хвилі.

Аналогічно на основі виразу (50) встановлюємо зв’язок між та :

.

Таким чином, хвильові опори для падаючої та відбитої хвиль рівні по модулю але відрізняються за фазою на кут . При цьому співвідношення (47) можна записати у вигляді:

.

Розподіл миттєвих значеннь (45) (47) в просторі можна подати графічним зображенням. На рис. 3.6 показані епюри миттєвих значень .45) та (47) падаючої хвилі в момент часу , в який фаза хвилі в будь-якій точці відстає від фази на початку координат на величину , а амплітуда хвилі в цій точці менша, ніж амплітуда на початку координат разів.

В наступний момент часу фаза хвилі в усіх точках зміниться на величину , а амплітуда залишиться незмінною. Тому на рис. 6 зображена епюра хвилі, що біжить в напрямку вектора Умова–Пойнтінга вздовж осі . Швидкість поширення хвилі можна знайти, досліджуючи повну фазу, наприклад, падаючої хвилі.

Нехай в момент часу в точці повна фаза , тобто аргумент при косинусі, визначається як

.

З’ясуємо, в який момент часу в точці повториться та ж фаза. Оскільки фази в обох випадках рівні, то

.

Оскільки розмірність другого доданка є час, то швидкість поширення хвилі або фазова швидкість:

.

Тепер можна визначити довжину хвилі, що поширюється. Нехай – період гармонічної функції. Тоді довжина хвилі:

.

Тепер слід одержати розрахункові співвідношення для коефіцієнтів та . Цю задачу можна розв’язувати, порівнюючи вираз (35) для коефіцієнта поширення , який визначається параметрами середовища, з тим же коефіцієнтом, який знаходиться через та (43). Підносячи до квадрату ці рівності та прирівнюючи їх, маємо:

,

де

.

Останнє співвідношення еквівалентне системі двох рівнянь з двома невідомими та :

.

Розв’язуючи цю систему та враховуючи, що – додатна дійсна величина, одержуємо:

; (51)

. (52)

В даних співвідношеннях

,

де – кут діелектричних втрат, тому (3.51) та (3.52) можуть бути записані у вигляді:

; (53)

. (54)

Таким чином, одержано вирази, що описують залежність коефіцієнтів затухання та фази від параметрів середовища , , та частоти сигналу в загальному випадку незалежно від відношення між струмами провідності та зміщення. На практиці часто зустрічаються середовища, в яких – провідні, а – діелектричні. Всі одержані співвідношення залишаються і для них справедливі, але формули (51) – (52) для цих випадків можуть бути спрощені без шкоди для точності. При цьому виявляються особливості поширення хвиль в провідниках та діелектриках.

Дата добавления: 2015-08-09