Критерий устойчивости Михайлова (вывод - случай вещественных корней).

Рассмотрим p следующим образом (r w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> – угловая частота колебаний)

ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Тогда

Если рассматривать уравнение , как того требует метод отыскания устойчивости, то записать выражение можно в следующем виде:

Каждая из скобок представляет собой комплексное число, а при перемножении аргументы комплексных чисел складываются. Рассмотрим отдельно одну из скобок.

· Если – положительное вещественное число, то при опишется угол -П/2.

· Если – отрицательное вещественное число, то при опишется угол П/2.

Для того, чтобы все вещественные части корней были отрицательны требуется, чтобы суммарный угол поворота составил nП/2, т.е. для устойчивости линейной системы n порядка необходимо и достаточно, чтобы D(iw), описывающий кривую Михайлова при изменении от 0 до имел общий угол nП/2.

Кривая Михайлова для устойчивой системы имеет спиралевидную форму, причем ее конец уходит в бесконечность в квадранте, номер которого равен порядку системы, причем порядок прохождения квадрантов не должен нарушаться (должно происходить чередование корней).

Наличие границ устойчивости определяется так:

1. Нулевой корень: годограф выходит из (0,0).

2. Колебательная граница: годограф проходит через (0,0).

3. Бесконечный корень: a0 будет проходить через 0-е значение, меняя знак с + на -.

Дата добавления: 2015-08-18