Способы построения развёрток конусов

Рисунок 7.1 - Развёртка прямого кругового конуса

7.1. Построение развёртки прямого кругового конуса.

Развёртка боковой поверхности конуса вращения представляет собой круговой сектор, радиус которого равен образующей R конуса (рис. 7.1), а длина L равна длине окружности pD основания конуса.

Основные данные для построения развёртки:

;	(7.1)
;	(7.2)
;	(7.3)
;	(7.4)
;	(7.5)
.	(7.6)

Вначале строят равнобедренный треугольник 1 – 2 – 1' со сторонами R и А. Из вершины 2 треугольника радиусом R описывают дугу, которая пройдёт через точки 1 и 1' и очертит сектор, являющийся искомой развёрткой.

Данный способ построения более точен, чем другой, связанный с построением по транспортиру угла a (или 2a).

Рисунок 7.2 - Развёртка прямого кругового конуса усечённого плоскостью, перпендикулярной к его оси.

7.2. Построение развёртки прямого кругового конуса, усечённого плоскостью, перпендикулярной к его оси.

Развёртка боковой поверхности такого конуса представляет собой фигуру, ограниченную двумя концентрическими дугами окружности и двумя лучами (рис. 7.2).

Основные данные для построения развёртки:

;	(7.7)
;	(7.8)
;	(7.9)
;	(7.10)
;	(7.11)
;	(7.12)
;	(7.13)
;	(7.14)
;	(7.15)
;	(7.16)
.	(7.17)

Построение развёртки боковой поверхности конуса заключается в том, что на прямой из точки О откладывают вправо и влево размер А/2. Затем из той же точки О восставляют перпендикуляр, на котором откладывают размер f. Через полученную таким образом точку 2 проводят линию, параллельную первой прямой. От точки 2 вправо и влево откладывают отрезки С/2.

Через точки 1', 3' и 1, 3 проводят прямые, которые пересекаются в точке О'. Из точки О' радиусами О'3' (r) и О'1' (R) проводят дуги, первая из которых пройдет через точки 3' и 3, а вторая – через точки 1' и 1. Тем самым развёртка боковой поверхности усечённого конуса будет ограничена со всех сторон.

7.3. Построение развёртки прямого кругового конуса с недоступной вершиной, усечённого плоскостью, перпендикулярной к его оси.

Рисунок 7.3 - Развёртка прямого кругового конуса с недоступной вершиной, усечённого плоскостью, перпендикулярной к его оси (1-й способ).

1-й способ. Для построения развёртки необходимо знать размеры равнобокой трапеции ABCD (рис. 7.3), основания АВ и CD которой следует, затем, заменить дугами окружностей. Эта часть построений ясна из рисунка и не требует пояснений.

Далее по трём точкам строят дуги АnВ и CpD концентрических окружностей одним из способов, изложенных в п. 4. Для вычисления координат точек дуг можно также воспользоваться следующими формулами:

;	(7.18)
;	(7.19)
;	(7.20)
.	(7.21)

где n – число равных расстояний на полухорде АВ/2;

m – то же на полухорде СD/2;

k – номер ординаты, начиная от оси симметрии.

Основные данные для построения развёртки:

;	(7.22)
;	(7.23)
;	(7.24)
;	(7.25)
;	(7.26)
;	(7.27)
;	(7.28)

Рисунок 7.4 – Развёртка прямого кругового конуса с недоступной вершиной, усечённого плоскостью, перпендикулярной к его оси (2-й способ).

.

(7.29)

2-й способ. Как и в первом способе, прежде всего, определяют размеры равнобокой трапеции ABCD и строят её (рис. 7.4). Затем основания трапеции заменяют двумя концентрическими дугами окружности. Именно способом построения этих дуг и отличается данный способ от предыдущего.

Из середины оснований трапеции проводят осевую линию MN, являющуюся перпендикуляром к основаниям АВ и CD. Рассматривая прямые АС и MN, как стороны угла с недоступной вершиной, проводят биссектрису KL одним из способов, указанных в п. 3. На биссектрисе выбирают произвольную точку O₁, которую принимают за центр, и радиусом О₁А=R₁ проводят дугу, которая при пересечении с осевой MN даёт точку 1₁, принадлежащую искомой дуге АВ.

Из того же центра О₁ (или любой другой точки, расположенной на линии KL) очерчивают дугу окружности радиусом О₁С=r₁. Пересечение этой дуги с линией MN даёт точку 1₁,принадлежащую искомой дуге CD.

Для отыскания промежуточных точек 2 и 2₁, проводят биссектрису PS угла, образованного прямыми АС и KL, или биссектрису EF угла, образованного прямыми KL и MN. Далее действуют по аналогии с процедурой отыскания точек 1 и 1₁.

Определив достаточное количество точек для дуг АВ и CD на левой половине трапеции и симметрично расположив их на правой половине, соединяют полученные точки плавными кривыми – дугами окружности.

Рисунок 7.5 - Развёртка прямого кругового конуса с недоступной вершиной, усечённого плоскостью, перпендикулярной к его оси (3-й способ).

3-й способ. По заданным размерам усечённого конуса с недоступной вершиной строят одну фронтальную проекцию конуса, представляющую собой равнобедренную трапецию 1—2—4—3 (рис. 7.5). К этой трапеции пристраивают ещё две такие же равнобокие трапеции. В результате получают фигуру, ограниченную сверху и снизу двумя ломаными линиями С—3—4—6 и А—1—2—5, а с боков – двумя отрезками прямых, равных усечённой образующей конуса. Через полученные точки вершин ломаных линий проводят плавные кривые – дуги окружностей, которые будут несколько короче развёрнутых окружностей – оснований конуса. Для корректировки длины этих дуг вычисляют длину нижнего основания, равную pD, и длину верхнего основания, равную pd, после чего откладывают вычисленные длины на дугах развёртки; первую длину – на нижней дуге от точки А до точки В, вторую – на верхней дуге от точки С до точки D. Полученные точки В и D соединяют прямой. Фигура, ограниченная двумя отрезками прямой AC и BD и двумя дугами АВ и CD окружностей, является искомой развёрткой боковой поверхности конуса.

Для более точного построения и отыскания бо́льшего количества точек дуг окружностей можно воспользоваться одним из способов, показанных в п. 4.

4-й способ. На фронтальной проекции усечённого конуса (рис. 7.6) строят направляющий конус высотой h и диаметром основания d_l=D-d. Этот конус подобен заданному. Далее строят предварительную развёртку направляющего конуса, представляющую собой круговой сектор радиуса L и дуги 1₁ – 1₁ равной длине развёрнутой окружности диаметра d₁. Дугу окружности делят на произвольное число равных частей. Из произвольной точки k проводят лучи k – 1_l, k – 2₁,... k – 6₁, k – 1₁.

Рисунок 7.6 - Развёртка прямого кругового конуса с недоступной вершиной, усечённого плоскостью, перпендикулярной к его оси (4-й способ).

На построенных лучах отмечают точки 1, 2, 3,... 6, 1, положение которых определяют с помощью коэффициента пропорциональности m, рассчитываемого по формуле

(7.30)

Через точки 1, 2, 3,... 6, 1 проводят образующие, параллельные соответственно образующим S1, S2,... S6, S1, и откладываем на них отрезки

(7.31)

где L – длина образующей усечённого конуса.

Рисунок 7.7 -Аналитический способ определения длин образующих.

Полученные точки соединяют плавными кривыми – дугами окружности. Полученная фигура АА11 является искомой развёрткой боковой поверхности усечённого конуса.

7.4. Построение развёртки конуса со смещённой вершиной и круговым основанием. Длины образующих определяют графически или по аналитическим зависимостям.

Для аналитического определения длин образующих (рис. 7.7) основание конуса делят на n равных частей, причём n принимают кратным 4

.

(7.32)

Длину образующей L определяют по формуле

.

(7.33)

где М – проекция образующей на плоскость основания, равная в 1-ом квадранте

,

(7.34)

во II-ом квадранте

.

(7.35)

здесь k – номер точки деления.

Рисунок 7.8 - Графический способ определения длин образующих.

Для графического определения длины образующих (рис. 7.8) полуокружность основания делят на равное число частей, а точки деления соединяют с проекцией вершины – точкой А'. Для определения истинных длин образующих строят прямой угол, на вертикальной стороне которого откладывают высоту конуса А'А=h, на горизонтальной – от вершины угла откладывают отрезки ОА', 1А', 2А' и т. д. Концы их соединяют с точкой А. Гипотенузы А0, А1, А2 и т. д. являются истинными длинами соответствующих образующих конуса.

Рисунок 7.9 - Построение развёртки конуса со смещенной вершиной.

Для построения развёртки (рис. 7.9) из произвольной точки А проводят отрезок прямой, равный по длине наименьшей образующей (в примере А6). Затем последовательно проводят дуги радиусами, равными длинам образующих. Из точки 6" радиусом, равным длине дуги деления окружности основания, делают засечку на дуге, проведённой радиусом A5 – получают точку 5. Из этой точки тем же радиусом делают засечку для получения точки 4 и т. д. После соединения полученных точек плавной кривой получают развёртку боковой поверхности конуса.

7.5. Построение развёртки прямого кругового конуса, усечённого наклонной плоскостью.

Данные для построения развёртки:

;	(7.36)
;	(7.37)
;	(7.38)
;	(7.39)
	(7.40)
;	(7.41)
.	(7.42)

Рисунок 7.10 - Аналитическое определение длин образующих.

Для аналитического определения длин образующих (рис. 7.10) окружность основания конуса делят на равные части, при этом центральный угол одного деления принимают равным d. Соответствующие углы между образующими на боковой проекции φ₁, φ₂ и т. д. определяют по формулам

;	(7.43)
;....	(7.44)

h₀ рассчитывают по формуле

.

(7.45)

В этом случае расстояние от вершины конуса до соответствующей точки верхнего основания будет равно:

▪ для точек, лежащих справа от точки 3

,...;

(7.46)

▪ для точек, лежащих слева от точки 3

,....

(7.47)

Для графического определения длин образующих (рис. 7.11) проекцию нижнего основания в плане делят на п равных частей, а полученные точки проецируют на основание конуса, обозначая их 1, 2, 3 и т. д. Эти точки соединяют с вершиной лучами, которые при пересечении с проекцией верхнего основания дают точки 1', 2', 3' и т. д. Последние проецируются на образующую конуса А6 точками 1₀, 2₀, 3₀ и т. д. Длины отрезков 6–1₀, 6–2₀, 6–3₀ и т. д. являются длинами соответствующих образующих.

Рисунок 7.11 - Аналитическое определение длин образующих.

Для построения развёртки боковой поверхности конуса усечённого наклонной плоскостью (рис. 7.12) вначале строят развёртку полного конуса с разделением дуги нижнего основания на равные части в количестве, принятом ранее для определения длин образующих. Полученные точки соединяют лучами с вершиной А, от которой последовательно откладывают отрезки А–0'; А–1'; А–2' и т. д., определённые ранее графическим или аналитическим путём. Полученные точки развёртки верхнего основания соединяют плавной кривой.

Рисунок 7.12 - Построение развёртки прямого кругового конуса пересечённого наклонной плоскостью.

Для определения истинного вида верхнего основания, представляющего из себя эллипс, определяют величину осей эллипса. Большая ось равна 0'–6 ' (рис. 7.10, 7.11). Для определения малой оси отрезок 0'–6 ' делят пополам. Точку деления k' (рис. 7.11) проецируют на 1–6, получают точку k₀. Радиусом kk ' проводят дугу с центром в точке 3. Продолжая вертикаль kk' вниз до пересечения с дугой, получают точку Т. Отрезок kT и будет малой полуосью искомого эллипса. По полученным осям эллипса строят верхнее основание конуса.

Дата добавления: 2015-08-18