Способы построения окружностей и их дуг. Спрямление окружностей и их деление на равные части

Рисунок 4.1 – Нахождение центра окружности.

4.1. Для определения центра окружности (рис. 4.1) произвольно проводят хорду АВ, из середины которой восставляют перпендикуляр mn. Аналогичным образом строят хорду ВС и перпендикуляр к ней ab. Пересечение перпендикуляров даёт точку О, которая и является искомым центром окружности.

Центр дуги находится аналогично.

Рисунок 4.2 – Определение длины радиуса.

4.2. Для определения длины радиуса окружности R по известным хорде АВ и стрелке f (рис. 4.2) следует воспользоваться формулой

.

(4.1)

4.3. Спрямление окружности графическим методом можно выполнять одним из нескольких способов.

Рисунок 4.3 - Спрямление окружности (1-й способ).

1-й способ. На чертеже окружности проводят два взаимно перпендикулярных диаметра и хорду АВ, как показано на рис. 4.3, а. Разделив хорду пополам, проводят прямую Od, проходящую через центр О и пересекающую окружность в точке е. На прямой линии (рис. 4.3, б) от начальной точки А откладывают три диаметра и прибавляют длину ed, определённую на рис. 4.3, а. Отрезок AN и будет равен длине распрямлённой окружности.

Этот способ является приближённым. Постоянная погрешность метода составляет около +0,15%, то есть отрезок AN больше истинной длины окружности на 0,15%.

Рисунок 4.4 - Спрямление окружности (2-й способ).

2-й способ. Заданным радиусом r проводят полуокружность с длиной дуги АС (рис. 4.4) и восставляют из её центра перпендикуляр 0В. Приняв точку А за центр, тем же радиусом r делают засечку на полуокружности и получают точку D. Точку С соединяют прямой с точкой D. Из точки С восставляют перпендикуляр к CD, а из точки В проводят прямую, параллельную АС. Эта прямая пересечёт построенный перпендикуляр в точке Е. Длина отрезка BE будет равна четверти длины распрямлённой окружности. Для получения полной длины распрямленной окружности следует отрезок BE умножить на 4.

Этот способ также является приближенным. Постоянная погрешность метода составляет +0,4 %.

Рисунок 4.5 - Спрямление окружности (3-й способ).

3-й способ. Проводят два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и MN (рис. 4.5). Через точку А проводят касательную к окружности прямую, параллельную MN. Принимая точку М за центр, радиусом R делают засечку на дуге МА. Полученную точку n соединяют прямой с центром О и продолжают её до пересечения с касательной в точке С. Отложив от точки С длину отрезка, равного трём радиусам, получают точку D. Соединив прямой точки В и D, получают отрезок BD≈πR=0,5πD. Для получения всей длины спрямлённой окружности длину отрезка BD удваивают.

Этот способ, как и оба предыдущих, является приближенным. Постоянная погрешность метода составляет около +0,05 %.

Рисунок 4.6 - Спрямление дуги окружности (1-й способ).

4.4. Спрямление дуги окружности производят одним из двух графических способов.

1-й способ. Для спрямления дуги окружности АВ (рис. 4.6) соединяют точки А и В хордой, которую затем делят пополам. Из середины хорды (точка g) восставляют перпендикуляр до пересечения с дугой в точке n. Соединив точки А и n прямой восставляют к ней перпендикуляр из точки n. Этот перпендикуляр пересечёт хорду АВ в точке О. Отрезок gO делят на три равные части. Длина отрезка Ах будет равна половине дуги АВ, то есть длине дуги An:

(4.2)

Рисунок 4.7 - Спрямление дуги окружности (2 -й способ).

2-й способ. Для того, чтобы спрямить дугу окружности АВ (рис. 4.7), описанную радиусом r, проводят хорду АВ и из середины её восставляют перпендикуляр, который пройдет через центр О. На этом перпендикуляре от точки О откладывают отрезок OD=2r. Затем проводят прямые AD и BD, продолжая их до пересечения с прямой EF, являющейся касательной к дуге (точка касания С), параллельной хорде АВ. Отрезок прямой EF по величине представляет собой спрямленную дугу АВ.

Этот способ даёт хорошие результаты, если длина дуги не превышает 1/12 длины окружности, в то время, как первый способ более пригоден для спрямления дуг значительной длины.

4.5. По данным хорде и стрелке, то есть по трём заданным точкам, можно построить дугу окружности с недоступным центром одним из трёх способов.

Рисунок 4.8 - Вычерчивание дуги окружности с недоступным центром (1-й способ).

1-й способ применим в случаях, когда на поле чертежа выше дуги имеется достаточно свободного места.

По данным хорде АВ и стрелке CD (рис. 4.8) проводят дугу окружности, центр которой недоступен. Принимая точки А и В за центры, радиусом, равным хорде АВ, описывают дуги окружности AN и ВМ. Соединяя точки A и В прямыми с точкой С, продолжают эти прямые до пересечения с дугами AN и ВМ в точках а и b. Вверх по дуге AN от полученной точки а откладывают отрезок, равный расстоянию Аа. Получают точку N. Аналогичным образом получают точку М.

Разделив дугу AN на какое-либо число равных частей (в данном примере – на восемь), обозначают точки деления цифрами от 0 до 8. Затем на такое же количество равных частей делят дугу ВМ, причём нумерацию в этом случае ведут, начиная от точки М. Соединяют точки деления дуги ВМ с точкой А, а точки деления дуги AN с точкой В. От пересечения одноимённых лучей получают точки, принадлежащие искомой дуге окружности. Соединив эти точки плавной кривой получают искомую дугу.

Рисунок 4.9 - Вычерчивание дуги окружности с недоступным центром (2-й способ).

2-й способ. Построение требует значительно меньше свободного места выше дуги. Из точки С, как из центра (рис. 4.9), радиусом, равным стрелке CD, описывают окружность. Соединив концы хорды А и В прямыми с точкой С, получают точки пересечения с построенной окружностью (на рисунке точки k и е). Отложив, по окружности вверх от точек k и е длины Dk=De получают точки m и n, которые соединяют прямыми с точкой С. Каждый из трёх получившихся радиусов Cm=Cn=CD делят на произвольное число равных частей (в примере – на четыре) и нумеруют их. Точки деления радиуса Сn соединяют прямыми с концом хорды В, точки деления радиуса Cm – с точкой А, а точки деления радиуса CD – с точками A и В.

От пересечения одноимённых лучей, исходящих из точки А на радиус Cm, с лучами, исходящими из точки В и направленными к радиусу CD, получают точки, принадлежащие левой половине дуги АВ. Аналогично получают точки правой половины дуги ВС. Полученные точки соединяют плавной кривой, получая дугу АСВ.

3-й способ применяют в тех случаях, когда для вспомогательных построений отсутствует свободное место сверху или снизу от чертежа, но оно имеется слева или справа от него.

Рисунок 4.10 - Вычерчивание дуги окружности с недоступным центром (3-й способ).

Для построения дуги ВС (рис. 4.10) известны полухорда BD и стрелка CD. Точки В и С соединяют прямой. Из точки В к ней восставляют перпендикуляр, который пересекает прямую CN (её проводят параллельно полухорде BD) в точке О. Полученный отрезок СО и полухорду BD делят на произвольное число равных частей (в примере – на четыре) и нумеруют точки деления. Одноимённые точки соединяют прямыми. Из точки В проводят линию, параллельную стрелке CD до пресечения с прямой CN в точке К. Полученный отрезок ВК, равный и параллельный стрелке, делят на то же количество частей, что и отрезки СО и BD. Точки деления нумеруют и соединяют лучами с точкой С. Пересечения одноимённых прямых дают точки, принадлежащие искомой дуге окружности, которые соединяют плавной кривой.

4.6. Деление окружности графическим способом на две, три, четыре, шесть, восемь, двенадцать и т. п. количество равных частей не требует пояснений. Покажем способы деления окружности на пять, семь, девять и десять равных частей, а также на произвольное число равных частей.

Рисунок 4.11 - Деление окружности на пять равных частей.

4.6.1. Для того, чтобы разделить окружность на пять равных частей, проводят два взаимно перпендикулярных диаметра АС и BD (рис. 4.11). Один из радиусов (в примере – ОС) делят пополам в точке n. Радиусом nВ описывают дугу окружности до пересечения с диаметром в точке k. Отрезок kB есть сторона правильного пятиугольника. Откладывают этот отрезок 5 раз по окружности. Получают правильный пятиугольник.

Рисунок 4.12 - Деление окружности на семь равных частей (1 способ).

Рисунок 4.13 - Деление окружности на семь равных частей (2 способ).

4.6.2. Для деления окружности на семь равных частей, проводят два взаимно перпендикулярных диаметра АС и BD (рис. 4.12). Радиусом ОС из точки С, как из центра, на заданной окружности засекают точку Е. Из точки Е опускают перпендикуляр на диаметр DС (в точку F). Полученный отрезок EF есть сторона правильного вписанного семиугольника, которую затем откладывают на окружности 7 раз.

4.6.3. Построение можно выполнять иначе (рис. 4.13). Проводят диаметр АВ и, приняв точку В за центр, радиусом, равным радиусу окружности, очерчивают дугу, которая пересекает окружность в точках Е и Е₁. Полученные точки соединяют прямой ЕЕ₁. В точке F эта прямая делится пополам. Длина отрезков EF и Е₁F есть сторона правильного вписанного семиугольника.

Рисунок 4.14 - Деление окружности на девять равных частей.

Рисунок 4.15 - Деление окружности на десять равных частей.

4.6.4. При делении окружности на девять равных частей (рис. 4.14) построение начинают так же, как и при делении на семь частей. Получают сторону правильного семиугольника ЕF. Продолжают линию EF несколько вверх и от точки F откладывают на ней отрезок, равный радиусу данной окружности. Получают точку n. Точки F и n принимают за центры и радиусом, равным радиусу данной окружности, описывают дуги, которые пересекаются в точке m. Соединив прямой полученную точку m с центром окружности О, получают пересечение её с окружностью в точке l. Соединив точки Е и l, получают отрезок, равный стороне правильного девятиугольника.

Рисунок 4.16 - Деление окружности на произвольное число равных частей.

4.6.5. Для того, чтобы разделить окружность на десять равных частей, проводят два взаимно перпендикулярных диаметра АС и BD (рис. 4.15). Из середины радиуса АО (точка n) очерчивают окружность радиусом nО. Соединив затем прямой точку n с точкой пересечения диаметра ВD и заданной окружности, получают точку l. Из этой точки радиусом, равным nО описывают дугу окружности до касания с окружностью диаметром ОА. Точкой касания является точка L. Расстояние измеренное между точками L и l является стороной правильного десятиугольника.

4.6.6. В качестве примера деления окружности на произвольное число равных частей приведём пример деления на одиннадцать частей.

В примере (рис. 4.16) за начало отсчёта принята точка 0. Проводят диаметр 0 – 11' и делят его на то число частей, на которое необходимо разделить окружность (в примере – 11). Приняв концы диаметра 0 – 11' за центры, радиусом, равным диаметру окружности, описывают дуги, которые пересекаются в точках А и A'. Проведя лучи из точки А через деления на диаметре окружности (0 – 11') 2', 4', 6', 8' и 10', получают точки пересечения с окружностью 1, 2, 3, 4 и 5. Проведя лучи через те же деления из точки А', получают пересечения ими окружности в точках 10, 9, 8, 7, и 6. Полученные точки 0, 1, 2... 10 делят окружность на требуемое количество равных частей.

Дата добавления: 2015-08-18