Способы построения и деления углов

Рисунок 3.1 - Построение угла равного данному.

3.1. Для того, чтобы построить угол, равный данному углу АОВ (рис. 3.1), из точки О, как из центра, произвольным радиусом описывают дугу, которая пересекает стороны данного угла в точках m и n. Не изменяя раствора циркуля, переносят его острие в точку O₁ и описывают дугу m₁k. Из точки m₁ как из центра, описывают дугу ab радиусом, равным расстоянию между точками m и n. Получают точку пересечения дуг n₁.

Проведя прямую через точки О₁ и n₁ получают искомый угол n₁O₁m₁, равный углу nOm.

3.2. При разметке целесообразно строить углы заданной величины при помощи циркуля и линейки, а не транспортира.

Ha рис. 3.2 показано построение углов в 15, 30, 60, 75 и 120°.

Рисунок 3.2 - Построение целых углов при помощи циркуля и линейки.

Для построения угла в 60° из точки О, как из центра, описывают дугу произвольного радиуса, которая засечёт на прямой АВ точку k. He меняя раствора циркуля, из точки k на дуге делают засечку в точке р. Проведя прямую через точки О и р, получают угол pOk, равный 60°.

Рисунок 3.3 - Построение дробных углов при помощи циркуля и линейки.

Для получения угла 120° необходимо от точки р сделать ещё одну дуговую засечку на дуге тем же самым радиусом Оk. Соединяя полученную таким образом точку т с О, получают угол kOm, равный 120°.

Угол в 30° получают делением угла в 60° пополам или прямого угла на три равные части. Деление же угла в 30°, пополам даёт угол в 15°. Угол в 75° получается как сумма углов в 60 и 15° (или разность углов в 90 и 15°).

Построение углов в 22,5°; 45°; 52,5°; 67,5°; 82,5° и 150° показано на рис. 3.3.

Для того, чтобы построить угол в 45°, строят вначале угол в 90°, который делят пополам. Деление же угла 45° пополам даёт угол в 22,5°.

Для того, чтобы построить угол в 150°, достраивают к прямому углу угол в 60°. Построение остальных углов ясно из рисунка и пояснений не требует.

Таким же образом, при помощи циркуля и линейки можно построить ряд других углов.

3.3. Более быстро и точно решить задачи на построение углов можно при помощи таблиц тригонометрических функций. Так построение углов по тангенсу точнее построения его транспортиром и быстрее, чем циркулем.

3.4. Деление данного угла пополам производят одним из следующих способов.

Рисунок 3.4 - Деление угла пополам (1-й способ).

1-й способ. Из точки О (вершина угла) произвольным радиусом (рис. 3.4) описывают дугу, которая пересечёт стороны угла в точках A и В. Приняв эти точки за центры, описывают дуги радиусом, несколько большим половины отрезка АВ. Дуги пересекутся в точке С. Через О и С проводят прямую, которая и будет искомой биссектрисой угла АОВ.

Рисунок 3.5 - Деление угла пополам (2-й способ).

2-й способ. Приняв точку О за центр, описывают из неё две дуги различных радиусов, которые пересекут стороны угла в точках С, D, и А, В (рис. 3.5). Соединив прямыми полученные точки А и D, В и С, получают пересечение их в точке n. Через O и n проводят прямую, которая является искомой биссектрисой угла АОВ.

Рисунок 3.6 - Деление угла пополам (3-й способ).

3-й способ. Из точки О (рис. 3.6) произвольным радиусом описывают дугу окружности, которая пересекает стороны угла в точках А и В. Полученные точки A и B принимают за центры, из которых одинаковым радиусом делают засечки на дуге в точках С и D. При соединении прямыми точек А и С, В и D, они пересекаются в точке n. Проведя прямую через вершину угла О и точку n, получают биссектрису угла.

Рисунок 3.7 - Деление угла с недоступной вершиной пополам (1-й способ).

3.5. Для деления угла с недоступной вершиной пополам применяют один из четырёх способов.

1-й способ. Параллельно линии АВ (рис. 3.7) на расстоянии а (размер а принимают немного больше половины АС) проводят прямую A₁B₁. Параллельно линии CD на таком же расстоянии a проводят прямую C₁D₁. Эти линии пересекаясь в точке О образуют угол B₁O₁D₁ с доступной вершиной. Разделив этот угол одним из представленных выше способов пополам, получают прямую MN, проходящую через точки О₁ и n. Эта прямая и будет биссектрисой угла.

Данный способ удобен тем, что построение можно производить без циркуля, пользуясь одной линейкой. Для этого заменяют описывание дуг откладыванием отрезков на сторонах угла ОС=OD и ОД=OB.

Рисунок 3.8 - Деление угла с недоступной вершиной пополам (2-й способ).

2-й способ. Стороны AB и CD (рис. 3.8) пересекают произвольной прямой EF, которая образует со стороной АВ два смежных угла AEF и BEF. От пересечения прямой EF со стороной CD получается также два смежных угла. Каждый из четырёх полученных углов делят пополам. Пересечение биссектрис углов AEF и CFE даёт точку М, а пересечение биссектрис углов ВЕF и DFE – точку N. Соединяя точки М и N прямой GH, получают искомую биссектрису угла, образованного сторонами АВ и CD.

Рисунок 3.9 - Деление угла с недоступной вершиной пополам (3-й способ).

3-й способ. Из произвольно выбранной точки Е на прямой АВ (рис. 3.9) восставляют перпендикуляр EF. Из той же точки восставляют перпендикуляр на прямую CD (отрезок EG). Из точки Е, радиусом несколько большим расстояния ЕF проводят дугу, таким образом, чтобы она пересекла обе стороны угла GEF. Из полученных точек g и f как из центров радиусом r несколько большим половины расстояния gf проводят взаимно пересекающиеся дуги. Через точку их пересечения (точка т) пройдёт биссектриса ER угла GEF которая пересечёт прямую CD в точке k. Принимая точки E и k за центры, описывают дуги окружности произвольным радиусом, большим половины отрезка Ek. Эти дуги пересекаются в точках L и М. Соединив точки L и М прямой, получают искомую биссектрису ОР угла.

4-й способ. Проводят прямую линию fх, параллельную СD, причём расстояние принимают таким образом, чтобы получить точку пересечения О с прямой АВ (рис. 3.10).

Рисунок 3.10 - Деление угла с недоступной вершиной пополам (4-й способ).

Рисунок 3.11 - Деление прямого угла на три равные части.

Из точки О как из центра возможно бо́льшим радиусом проводят дугу окружности, пересекающую линии АВ и fт в точках n и m.

Соединив прямой полученные точки m и n, продолжают эту линию до пересечения с прямой CD в точке k. Приняв точки п и k за центры, радиусом, большим половины отрезка nk, проводят дуги, пересекающиеся в точках z и у. Проведя через эти точки прямую MN, получают искомую биссектрису.

Рисунок 3.12 - Деление острого угла на три равные части.

3.6. Для того, чтобы разделить прямой угол на три равные части, из точки О (рис. 3.11) произвольным радиусом описывают четверть окружности, которая пересечёт стороны угла в точках А и В. Принимая эти точки за центры, тем же радиусом ОА делают засечки на четверти окружности в точках С и D. Прямые линии ОС и OD делят прямой угол на три равные части.

Рисунок 3.13 - Деление тупого угла на три равные части.

3.7. Для деления острого угла АОВ (рис. 3.12) на три равные части продлевают сторону ВО угла несколько вправо. Затем из вершины угла (точки О), как из центра, очерчивают полуокружность произвольного радиуса, которая на сторонах угла даёт три точки пересечения а, b и с. Полученные точки а и b соединяют прямой с продолжением её влево.

Тем же раствором циркуля из точки b (пересечение полуокружности со стороной АО) очерчивают вторую полуокружность, которая пересекает соединительную линию в точке е. Приняв эту точку за центр, очерчивают третью полуокружность того же радиуса, которая даёт на соединительной линии точку пересечения N. Соединив точку N с вершиной угла О, получают угол NOA, равный 1/ 3 угла BOA.

Для упрощения построений можно не строить вторую и третью полуокружности, а отложить от точки b отрезок bN, равный диаметру. В некоторых случаях это удобно, так как построение можно выполнять пользуясь только линейкой.

Способ деления острого угла на три равные части применим также и для деления тупого угла (рис. 3.13).

Дата добавления: 2015-08-18