Балансовый анализ. Основная задача межотраслевого баланса

Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом, каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 году американским экономистом В. Леонтьевым.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени, например, за год.

Введем следующие обозначения:

x_i – общий (валовой) объем продукции i – ой отрасли (i = 1, 2, …,n);

х_ij – объем продукции i – ой отрасли, потребляемой j – ой отраслью в процессе производства (i,j = 1, 2, …,n);

y_i – объем конечного продукта i – ой отрасли для непроизводственного потребления.

Так как валовой объем продукции любой i – ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то

_n

x_i = Σ x_ij + y_i, (i = 1, 2, …,n). (1)

^{j = 1}

Уравнения (1) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в уравнения (1), имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат

х_ij

а_ij = х_j, (i,j = 1, 2, …,n), (2)

показывающие затраты продукции i – ой отрасли на производство единицы продукции j – ой отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты а_ij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, то есть

x_ij = а_ij х_j , (i,j = 1, 2, …,n), (3)

вследствие чего, построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.

Теперь соотношения баланса (1) примут вид:

_n

x_i = Σ а_ij х_{j +} y_i , (i = 1, 2, …,n). (4)

^{j = 1}

х₁ а₁₁ а₁₂ … а_1n у₁

Обозначим Х = х₂ , А = а₂₁ а₂₂ … а_2n , Y = у₂ , (4')

… …………………... …

х_n а_n1 а_n2 … а_nn у_n

где Х – матрица-столбец валового выпуска, Y – матрица-столбец конечного продукта, А – матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица).

Тогда систему (1) можно записать в матричном виде:

Х = АХ + Y. (5)

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такой матрицы валового выпуска Х, которая при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданную матрицу конечного продукта Y.

Перепишем уравнение (5) в виде:

Х – АХ = Y или ЕХ – АХ = Y, отсюда по свойству дистрибутивности умножения матриц относительно сложения имеем:

(Е - А)Х = Y. (6)

Если матрица (Е - А) невырожденная, то есть | E – A | ≠0, то получаем

Х = (Е – А)^-1Y. (7)

Матрица S = (Е – А)^-1 называется матрицей полных затрат.

Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы S = (s_ij), зададим единичными матрицами конечного продукта Y'₁ = (1,0, …, 0), Y'₂ = (0,1,…, 0), …, Y'_n =(0,0, …,1), где знак «'» означает транспонирование матриц. Тогда по уравнению (7) соответствующие матрицы валового выпуска имеют вид: Х'₁ = (s₁₁, s₂₁, …, s_n1), X'₂ = (s₁₂, s₂₂, …, s_n2), …, X'_n = (s_1n, s_2n, …, s_nn).

Следовательно, каждый элемент s_ij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i – ой отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j – ой отрасли y_j = 1 (j = 1, 2, …, n).

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения x_i должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях y_i ≥ 0 и a_ij ≥ 0, где i,j = 1, 2, …,n.

Матрица А ≥ 0 называется продуктивной, если для любой матрицы Y ≥ 0 существует решение Х ≥ 0 уравнения (6). В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит о том, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы: причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Дата добавления: 2015-08-18