Закон больших чисел 16 страница

Сидоров любил ловить окуней, но с вероятностью 0,4 ловился на удочку сам (и домой возвращался, стеная, с крючком, вонзившимся в самое неподходящее место). В день юбилея сбербанка он забрасывал удочку 12 раз. Составить закон распределения случайной величины X – количества случаев, когда Сидоров поймал сам себя.

Как-то Макар Иванович Сидоров пошёл ловить окуньков, но он не знал о том, что вместо окуньков ему навстречу плыла подводная вражеская лодка. Он расположился на берегу и закинул удочку. Прошло совсем немного времени, когда поплавок задёргался и ушёл под воду. «Здоровая попалась, наверняка щука», - ликовал Сидоров. Он потянул удилище, но навстречу ему выплыла не молодая щука, а неизвестная подводная лодка. Предусмотрительный Макар схватил ружьё (прихваченное на всякий случай, отстреливаться от злоумышленников) и принялся палить ей в железный бок. Сидоров сделал последовательно и независимо один от другого выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле составила . Известно, что подводная лодка разделена на отсеков, и при каждом выстреле вероятности попадания в каждый из отсеков одинаковые. При попадании, отсек заполняется водой. Подводная лодка тонет, если водой заполнено не менее 2-х отсеков. Найти вероятность того, что подводная лодка затонет поблизости от Хрюпинска.

Решение. Пусть событие , .

Вычислим условные вероятности. По условию задачи . При попаданиях подводная лодка не затонет, только если все торпеды попали в один отсек, следовательно, получим:

Полная вероятность затопления подводной лодки составит

Открылся сезон охоты на уток, и Сидоров немедленно начал рваться на болота с дедовской двустволкой. Ведь газета «Воронежский охотник» сообщала вполне авторитетно, что если в утку не попасть, она спокойно полетит дальше, но если попасть один или, лучше, два раза (даже и в хвост) камнем падает вниз в обмороке, где и становится добычей охотников и их собак. Наталья Александровна посчитала эту экспедицию переводом пуль и на болота не отпустила. Сидоров решил рваться энергичнее. Накануне 8 марта, с вечера, он изобразил за баней волчий вой, и, не дожидаясь возражений, ухватил ружьё, шапку и умчался убивать волка-оборотня. Наталья Александровна подозревала, что Макар проделал этот фокус, чтобы не поздравлять её, Марью, Дарью и Василису с «праздником их женским», и ожидала его возвращения с некоторым нетерпением.

Сидоров очень любил охоту, но стрелял плохо, и это обстоятельство очень ему мешало. Достоверно (из анализа статистических данных) известно, что при стрельбе по движущейся мишени при первом выстреле он попадал в цель с вероятностью , при втором , а при третьем . (то ли руки начинали дрожать от волнения, то ли глаза слезиться).

Перед тем как отправиться охотиться на кабана Макар Иванович внимательно прочитал журнал «Северодвинский стрелок», посвящённый этому вопросу. В одной из статей анализировалась смертность кабанов от рук охотников в средней полосе России, и, в частности, упоминалось, что при отсутствии попаданий, даже после нескольких выстрелах кабан останется жив. При одном попадании, кабан выживет с вероятностью , при двух , При трёх попаданиях кабан погибает наверняка (видимо, сдают нервы, потому что кабан умирал и после трёх попаданий в хвост). Сидоров решил, что обстоятельства скалываются в его пользу, а не в пользу кабана и, прихватив ружьё и бутерброды, пошёл в поле.

Услышав после обеда три выстрела, Наталья Александровна задумалась: добыл ли Сидоров, на сей раз, кабана и потихоньку тащит его тушу за хвост в направлении дома или снова придётся встречать его на окраине леса с пулемётом. К вечеру выяснилось, что Макар убил таки кабана и в доказательство принёс его коренной зуб. Какова вероятность, что кабан был убит одним выстрелом?

Последние три года Макар Иванович Сидоров занимал должность системного администратора в конторе под названием «Только копыта».

Макар Иванович был экономным человеком и CD болванки, необходимые для работы, покупал только на оптовой базе или на рынке. Но ему не везло, и среди болванок часто попадались бракованные. Как-то раз, он закупил 20 болванок (среди которых 5 имели скрытый дефект) и 6 из них взял с собой на работу. Работал он в ту осень системным администратором в правлении кооператива «Хлебосол». Какова вероятность того, что ровно 2 из 6 болванок содержат скрытый дефект, а остальные 4 – качественные и годятся для записи и хранения информации?

Начальник заведения своих работников любил и кормил в двух столовых. Они не конкурировали, они мирно сосуществовали, потому что каждая была особенной в своём роде. Одна называлась «Три поросёнка», другая – «Дохлая лошадь». По документам первая числилась как «Столовая № 15», а вторая как «Столовая № 51» и никто бы сегодня не вспомнил, как оба заведения получили свои народные прозвища, но названия прижились, и по другому их никто не называл.

Десять человек одновременно идут обедать в две столовые с одинаковым числом мест. Каждый из них выбирает любую из этих столовых с вероятностью и независимо от выбора остальных. Сколько мест следует иметь в каждой столовой, чтобы с вероятностью посетители не стояли в очереди?

Решение. Число мест в столовых можно подобрать. Очевидно, что если в каждой столовой будет 10 мест, очереди не возникнет. По условию задачи - число мест с большим запасом. Предположим, что в каждой столовой по 5 мест. Найдём вероятность случайного события . Рассмотрим события . Для вычисления используется формула Бернулли. Опыт состоит в том, что идущий обедать выбирает столовую №1 с вероятностью . Этот опыт проводится каждым из 10 обедающих независимо от других, то есть . По формуле Бернулли получим: .

Итак, по 5 мест в каждой столовой недостаточно. Рассмотрим случай наличия в столовых по 7 мест, тогда . Действительно, если происходит событие , то в первую столовую пришли 3 человека (и здесь очереди нет), тогда во вторую столовую пришло 7 человек (здесь нет очереди). Следовательно . Аналогично устанавливается, что также благоприятствуют . Поскольку события, перечисленные в объединении попарно несовместны, то

Таким образом, в столовых достаточно иметь по 7 мест. Проверим, можно ли обойтись 6 местами: .

. Очевидно, что 6 мест недостаточно.

Однажды Сидоров явился обедать в «Дохлую лошадь», купил себе окрошку и сосиски, и со всеми удобствами устроился за колонной у окна. Бдительный Макар Иванович, таким образом, наблюдал и за событиями, происходящими на улице, и за тем, что творится у раздачи. А у раздачи молоденький курсант, приехавший в Хрюпин к родителям на каникулы, терпеливо ждал буфетчицу. Сидоров успел съесть окрошку и принялся за сосиски, а она всё не проявляла признаков жизни (кстати сказать, за кассой тоже никто не сидел, поэтому торопиться было некуда). Напившись чаю с пирогами, и вволю наговорившись, кассирша и официантка появились у стойки, где маялся курсант. Молодой человек оживился и заказал пельмени, чай и салат …, но салата уже не было, и никто не собирался крошить его снова, чай остыл, а порция пельменей (видно было невооружённым глазом) была куда меньше, заявленной в меню. Он заплатил, но на лице его появилось выражение глубокого уныния. Курсант подошёл к свободному столу и тоскливо посмотрел в тарелку. Макар Иванович проследил за его взглядом, и причина тоски молодого человека стала ясна ему как дважды два – на дне тарелки остывало шесть чахлых пельменей вместо положенных нормой двенадцати. Несправедливость была налицо и в Сидорове возгорелась жажда справедливости и желание немедленного возмездия. Он встал, подхватил тарелку курсанта левой рукой и решительно двинулся к раздаче, правой вынимая из кармана пропуск, в красной обложке. «Что это, - вскричал он, поставив решительным жестом тарелку с пельменями на прилавок, - что это, я спрашиваю!». От такого напора буфетчица задумалась, а увидев красную книжицу с фотографией и печатью, устрашилась. «Пельмени, - прошелестела она, - пельмени русские», «Я вижу, что не молдавские, но почему эти пельмени накидали в тарелку как попало! Вы что не знаете, что по стандарту ГКСМ-4567 от 1996 года пельмени должны располагаться на тарелке вдоль силовых линий магнитного поля Земли по Гриндвичу!». Буфетчица запричитала: «Всё было выдано, как положено, но это он, он всё порушил, - она тыкнула пальцем в курсанта, - а теперь жалуется, а я всё по магнитным линиям ложила». Сидоров, между тем, извлёк из кармана шариковую ручку, потряс ею в воздухе и ткнул в тарелку с пельменями: «А какова кислотность сметаны! Не сметана - чистый уксус. Немедленно несите бумагу, будем составлять акт!». Буфетчица взвыла: «Клава, Клава, иди скорее сюда, нас закрывают, ревизор пришёл!». Из кабинета явилась умная Клава – начальница смены. Она взглянула в тарелку и немедленно ухватила суть проблемы. Оценила она и молодца Сидорова с его красной книжкой. Собственными руками Клава (Клавдия Петровна, если точнее) выдала новую порцию (значительно полнее обычной), ласково глянула на паренька и проворковала: «ешь на здоровье, милок!». А потом перевела безмятежный взгляд на Сидорова: «Ваши документы, пожалуйста. Уж писать, так писать, по всей форме!». Но Сидоров уже убирал свою красную книжку и, улыбаясь, настаивал на том, чтобы считать инцидент исчерпанным. На том и порешили, потому, что Макар уже нашёл взглядом книгу жалоб и предложений, телефон контролирующей организации и весьма выразительно тянулся к ним. Уже через минуту Макар Иванович вернулся к своему остывающему чаю и сосискам. Так состоялось знакомство Макара Сидорова и Ваньки Золотого, в дальнейшем одного из вернейших его приятелей.

Начальник Сидорова из конторы «Только копыта» любил проявлять внимание к сотрудникам и всегда лично поздравлял их с днём рождения. При каком минимальном числе сотрудников в компании вероятность того, что хотя бы двое из них родились в один и тот же день, не меньше ? Годы рождения могут не совпадать.

Решение. Пусть 29 февраля не может быть днём рождения и всем остальным дням в году отвечает одинаковая вероятность.

Обозначим за число равновероятных дней, - число людей. Вычислим вероятность того, что эти люди родились в разные дни. Тем самым будет найдена и вероятность того, что хотя бы два человека родились в один день.

Для первого человека имеется возможных дней длят рождения, для второго - , не совпадающих с днём рождения первого, для третьего - , отличных дней рождения первых двух и т.д., для -го человека существует возможностей. Общее число вариантов, при которых нет одинаковых дней рождения равно (всего сомножителей). Общее число различных распределений дней рождения людей равно . Воспользовавшись классическим определением вероятности, получим: . Точное вычисление вероятности по этой формуле трудоёмко, поэтому удобнее воспользоваться представлением этой вероятности в виде . Результаты вычислений для различных представлены в таблице (табл.8)

Таблица 8.

	0,027	0,117	0,411	0,476	0,507	0,706	0,891	0,994

наименьшее целое число, при котором можно заключать равноправное пари.

Известно, что Для малых , члены порядка, большего, чем дают в сумму пренебрежимо малый вклад, поэтому для таких можно заменить на . Заметив, что является произведением множителей вида , где - много меньше . Эти множители могут быть записаны в виде: . Поэтому . Воспользовавшись этой асимптотической формулой можно получить .

Макар Сидоров решил найти человека, день рождения которого совпадает с его днём рождения (чтобы сэкономить на организации вечеринки). Сколько незнакомцев ему придётся опросить, чтобы вероятность встречи такого человека была бы не меньше, чем ?

Решение. Важно заметить, что выборка дней рождения производится с возвращением. Если первый опрошенный называет дату своего рождения, то и следующий вполне может иметь такую же. Вероятность того, что опрошенный человек родился не в один день с Сидоровым равна . При опросе людей вероятность того, что все они родились не в день рождения Сидорова, равна , и вероятность того, что хотя бы у одного день рождения тот же самый, что и у Сидорова, равна . Следует определить наименьшее значение , для которого . Искомое число .

Можно воспользоваться приближённой формулой: . Тогда, для определения , следует решить уравнение: или . Для получим .

Парадокс дня рождения. Если собираются вместе не более, чем 365 человек (в задаче не учитываются високосные годы), то возможно, что все они имеют различные дни рождения. Однако, среди 366 человек, наверняка (100%) найдутся, по крайней мере двое таких, у которых дни рождения приходятся на один и тот же день в году. Однако, если вычислить, сколько должно собраться людей, чтобы с надёжностью 99% двое из них имели один и тот же день рождения, то окажется, что достаточно 55 человек. В то же время среди 68 человек с вероятностью по крайней мере 99,9% по крайней мере двое имеют одинаковый день рождения. Почти неправдоподобно, что такая малая разница между вероятностями может привести столь значительным различиям в числе собравшихся людей.

Решение. Пусть - число дней в году, и пусть - число людей в группе. Тогда вероятности того, что никакие два человека в этой группе не имеют одинаковых дней рождения равна . Следовательно, если , то - вероятность того, что среди людей найдутся имеющие один и тот же день рождения. Приближённое решение этого уравнения (при условии, что ) равно . Следовательно, порядок величины есть для любого значения из интервала . В то же время, если , то .

Обобщение проблемы общих дней рождения состоит в следующем: вычислить нижнюю границу так, что с вероятностью в группе из человек, по крайней мере, у дни рождения приходятся на один и тот же день в году. Ответ: .

Легко сообразить, что зарплаты системного администратора Макару Ивановичу не хватало, и потому, он неутомимо искал всё новые и новые источники дохода, откликаясь на все вызовы времени.

Сидоров купил акции трёх фирм. Вероятность получить прибыль не менее 20% по акциям составит 0,7; 0,4 и 0,2. Какова вероятность что Сидоров не получил прибыли ни по одному пакету акций.

Однажды летом Сидоров решил заняться сетевым маркетингом, и продавать пироги с капустой (испечённые Матрёной Максимовной) вразнос. За один день ему удавалось продать в среднем 5 пирогов. Какова вероятность того, что он продаст чётное число пирогов? Предполагается, что число проданных пирогов подчиняется закону Пуассона.

Решение. Предположение о распределении числа проданных пирогов по закону Пуассона возможно потому, что у Сидорова много знакомых, но пироги они покупают редко. Пусть вероятность продать ровно пирогов равна .

Известно, что сумма вероятностей в законе Пуассона равна (1). Выделим слагаемые, отвечающие нечётному количеству покупок. Известно, что (2). Сумма выражений (1) и (2) даёт удвоенную вероятность чётного числа проданных пирогов, поскольку члены с нечётными степенями войдут в сумму с нулевыми коэффициентами, а члены с чётными степенями с коэффициентом 2. Следовательно, разделив полученное выражение на 2, получим вероятность чётного числа проданных пирогов: . При искомая вероятность составит

Чтобы подзаработать, Сидоров проводит социологический опрос. Он обзванивает за вечер 20 человек и всем задаёт один и тот же вопрос: «Чем Вы кормите свою собаку?» Вероятность, что ему вежливо ответят – 0,35. Какова вероятность, что Сидорова пошлют в Соседний город Замышин в непарламентских выражениях ровно 15 раз?

Сидоров – любитель порядка и статистики - выращивал брюкву. Он знал, например, что средний вес корнеплода на его грядках – 750 г. Как-то 27 августа он с друзьями отмечал день независимости Индии, сидя среди грядок. Когда водка ещё осталась, а закуска уже закончилась, Сидоров выдернул брюквину из земли (и как человек аккуратный помчался её взвешивать и записывать результат). Жена Сидорова, наблюдая из окна за его прыжками, подумала: «какова вероятность того, что вес этой брюквы 800 г., если стандартное отклонение составляет 100 г.?»

Год от года Сидоров всё активнее применял статистику и теорию вероятности на своём огороде. Например, однажды весной он посеял 5000 семян репы, а затем, забросив прополку и полив, принялся оценивать (пользуясь неравенством Чебышёва) вероятность того, что число взошедших семян окажется не меньше 3750, но не больше 4250, если известно, что математическое ожидание случайной величины - число взошедших семян, равно 4000.

Вероятность вызревания семян моркови на широте Хрюпина составляет 0,8. С помощью неравенства Чебышёва Макар Сидоров оценивает вероятность того, что из 1000 растений число растений с вызревшими семенами больше 750, но меньше 850. Определить вероятность попадания случайной величины - число растений с вызревшими семенами, в заданный интервал.

Эмпирически Макар Иванович доказал, что всхожесть семян петрушки составляет 90%. Используя неравенство Чебышёва, Сидоров оценивает вероятность того, что из посеянных 5000 семян:

- отклонение доли взошедших семян от постоянной вероятности взойти каждому из них не превзойдёт по модулю 0,03?

- отклонение числа взошедших семян от математического ожидания не превзойдёт по модулю 100?

Выборочным способом Наталья Александровна (также агроном-любитель и статистик-экспериментатор, как и Макар Иванович) определяют вес выращенных ею ягод клубники. Сколько необходимо отобрать (и удержаться, не съесть) ягод, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что средний вес случайно отобранных клубничин будет отличаться от среднего веса ягод во всей партии (принимаемого за математическое ожидание) не более, чем на 0,1? В прошлом году Наталья Александровна установила, что среднее квадратическое отклонение веса не превышает 0,2 г.

Сидоров был хозяйственным человеком и заботился о пополнении продовольственных запасов на зиму. Каждую осень он солил грибы, помидоры и огурцы и себе и тестю. Но однажды он законсервировал вместе с огурцами несколько не в меру любопытных мышек-полёвок. Он закупорил 20 банок огурцов, причём в 5 из них были законсервированы и мышки. К октябрьским праздникам Макар подарил тестю 6 банок солений. Какова вероятность того, что 2 из них на радость собравшимся гостям обнаружатся хорошо сохранившиеся в рассоле мышки?

Грибов в лесу в то лето было мало, но Сидоров сумел засолить 25 литровых банок груздей и сыроежек. Обстоятельства сложились так, что в 12 банках кроме груздей и сыроежек оказались законсервированными мелкие ящерицы. Готовясь ко дню согласия и примирения, Сидоров извлёк из погреба 6 банок. Какова вероятность, что в 2 банках найдутся ящерицы?

На грибах Сидоров много не заработал и потому решил заняться разведением карпов и дальнейшей переработкой рыбы, чтобы обеспечить себе спокойную старость. И всё было бы хорошо, но он не знал, сколько рыбы живёт в дальнем пруду (где он и собирался развернуть производство), а, следовательно, он не мог предугадать максимальную мощность рыбоперерабатывающей линии, которую следует закупить. Чтобы ответить на вопрос о количестве рыбы, Сидоров провёл статистический эксперимент. Однажды он закинул невод и извлёк 1000 рыб. Каждой он вставил серебряное кольцо в нос и отпустил обратно. Спустя некоторое время, он снова закинул невод и извлёк 1000 рыб. Из них 100 оказались помеченными. Уже к вечеру Сидоров знал количество рыбы в пруду и определил мощность линии.

Пусть - число рыб в озере, - число рыб в первом улове (помеченных), - число непомеченных рыб в озере; - число рыб во втором улове; - число меченых рыб во втором улове.

Дата добавления: 2015-08-05