Закон больших чисел 7 страница

Стройотряд, в котором трудился Сидоров, сначала был занят на строительстве коровника. Затем их строительные навыки были отшлифованы на воздвижении забора вокруг правления. А вершиной архитектурной карьеры стало сооружение в чистом поле здания клуба: островерхая башня с двумя увенчанными куполами пристройками (в них размещались планетарий и краеведческий музей). С земли сооружение выглядело даже симпатично: витражи, росписи, портреты передовиков на доске почёта, клумба с люпином. Но вид сверху был несколько двусмысленным – так, что птицы краснели на подлёте.

Местное население перемещалось по колхозным дорогам исключительно на тракторе. Руководитель группы Аркадий Митрофанович Лютиков (заведовавший кафедрой математики МУУ) был вполне доволен этим обстоятельством, потому что получил права на управление трактором в самой ранней юности в хрюпинском профессиональном сельскохозяйственном училище. Поэтому в критической ситуации он мог сменить за рычагом трактора тракториста, потерявшего способность соображать. Утром, используя колхозного «Кировца» как личный транспорт, он с ветерком подъезжал к правлению, оглашая округу воем и треском. Не заметить его появления было невозможно, и работники правления встречали его прямо на крыльце. Виртуозность овладения этим видом транспорта он доказал в первую же неделю колхозной жизни, доставив вечером к крыльцу дома, в котором обитали, порученные ему студенты, без малейшего повреждения на крыше кабины натюрморт из банки маринованных огурцов, трёх стаканов, одной вилки и двух литровых бутылок водки. Аркадий Лютиков и члены правления колхоза целый день (благо погода стояла тёплая и не дождливая) обсуждали в поле план сельскохозяйственных работ, но забыли убрать за собой.

Работая трактористом, Аркадий Лютиков проехал по сельской улице 3000 раз. В ходе одной поездки вероятность задавить курицу составляет 0,001. Какова вероятность того, что он не раздавит ни одной курицы, одну, две, три…?

Тетрадь Макара Ивановича по физике носила гордое название «Тернодинамика», хотя изучали они и механику, и электричество, но Макару нравилось слово. Макару вообще нравилась физика, она наполняла его мозг новой необычной информацией и давала повод для размышлений. Например, измеряя радиоактивность бронзового бюста первого ректора МУУ Вениамина Козельского, установленный напротив парадной лестницы, он обнаружил оригинальный эффект: максимальна радиация была на кончике носа, а минимальна – на затылке Козельского. Этот факт подтолкнул Макара к созданию теории о том, как радиация обволакивает тупые и острые поверхности, и связал с уровнем радиоактивности активность собственных мозгов. А однажды, на экзамене (сдавали механику) решая задачу, Сидоров доказал, что любое материальное тело, брошенное под углом к горизонту, описывает круг и возвращается в исходную точку не хуже бумеранга. На этот нетривиальный факт обратил внимание его преподаватель физики Иван Макарович Фомин (в то время главный методист кафедры физики МУУ). Надо сказать, что Иван Макарович был известен среди коллег своим на редкость въедливым, равномерно мрачным характером и полным отсутствием чувства юмора. Например, однажды, когда сотрудники кафедры физики спровадили студентов по домам и удобно расположились в лаборантской среди амперметров и осциллографов, чтобы отметить конец старого и наступление нового года, он явился (тренированный народ тут же убрал мензурки и сел по стойке смирно) и сказал речь на 25 минут о новых горизонтах в преподавании физики и удвоении (или учетверении?) усилий сотрудников в научной и методической работе в грядущем году. Так вот, Сидоров пытался рассказать наставнику о том, что таков закон природы («возвращения на круги своя»), но раздражённый экзаменатор потребовал немедленно проверить этот закон. Он зашвырнул зачётку в коридор и сообщил, что если открытый Макаром закон сработает, то зачётка вернётся, и он получит пять. В коридоре, однако, во время экзаменов и зачётов полно болельщиков, поэтому, через пару мгновений зачётка залетела обратно. После экспериментального доказательства Иван Макарович был вынужден поставить Макару Ивановичу пятёрку. Это была единственная сессия за время обучения, когда Макар получил стипендию.

В группе из 10 студентов, явившихся на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно и 1 – плохо. К экзамену преподаватель составил 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все вопросы, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо - на 5. Вызванный наудачу студент отвечает на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что студент подготовлен отлично (плохо).

Решение. Сформулируем гипотезы:

- студент подготовлен отлично;

- студент подготовлен хорошо;

- студен подготовлен посредственно;

- студент подготовлен плохо.

Априорные вероятности этих гипотез составляют: ; ; ; . Событие состоит в том, что студент отвечает на три вопроса. Вычислим условные вероятности ; ; ; . По формуле Байеса определим апостериорные вероятности: ; .

Сидоров сдаёт зачёт по теории вероятностей. Вероятность, что он ответит на вопрос 0,25. В случае, если Макар Иванович не отвечает на вопрос, зачёт прекращается и он отправляется на доучивание и уточнение мировоззрения. Теоретически, он может явиться на пересдачу сколь угодно много раз. Составить закон распределения случайной величины X – количество пересдач зачёта по теории вероятностей.

Список вопросов к экзамену содержит 25 вопросов. Сидоров сумел познать 10, прежде, чем забросил безнадёжное дело. Тест содержит 10 вопросов. Какова вероятность того, что Сидоров знает ответ на 0, 1, 2, … 10 вопросов?

Так случилось, что Сидоров не написал контрольную работу по интегрированию и его друзья нашли телефоны 3-х репетиторов, готовых ему в этом помочь. Первый решал 25 контрольных работ заочников, второй – 35, третий – 40. Первому возвращали на доработку 5 работ, второму – 10, третьему – 20. Какова вероятность того, что наудачу выбранная, проверенная и зачтённая работа студента заочника была решена третьим репетитором?

Студент механического факультета Дураков-Стремительный не сдал экзамен по краеведению и отправился к проректору по учебной работе МУУ Жучкину с прошением о пересдаче. Вероятность того, что Жучкин подпишет заявление 0,004. Но студент на диво настойчив и энергичен и может подкараулить Жучкина 500 раз. Какова вероятность того, что Дураков-Стремительный получит 5 подписей?

Студент Пчёлкин не желал идти служить в армию, а желал улучшить демографическую ситуацию в стране. За пять лет обучения в вузе он обзавёлся 5 детьми. Составить закон распределения случайной величины X –количества родившихся девочек, если известно, что вероятность рождения девочки 0,49.

Группа студентов из 20 человек, руководимая Антоном Нежуковым отправилась на митинг, посвящённый борьбе за мир. Из этих 20 человек 12 были афророссиянами. Известно, что 8 из студентов дальтоники, и 2 дальтоников – афророссияне. По списку, наудачу, руководитель группы назначил одного человека, чтобы принести со склада 10 красных и 10 зелёных флагов. Какова вероятность того, что посланец принесёт то, что следовало (рис.9).

	Решение. Событие состоит в том, что наудачу выбранный студент – афророссиянин, - дальтоник, - дальтоник и афророссиянин. Вычислим вероятности: ; . Вероятность , а условная вероятность . События и зависимы.
Рисунок 9. Диаграмма Эйлера-Венна, на которой представлены события , , .

Среди студентов МутехмепеГУ доля брюнетов – 0,2; шатенов – 0,3; блондинов – 0.4 и рыжих – 0,1. Наугад выбирают шесть человек, для поездки на пушкинский праздник. Найти вероятность событий:

- в составе группы нет меньше четырёх блондинов;

- в составе группы хотя бы один рыжий;

- в составе группы равное число блондинов и шатенов.

Решение. ;

; .

- в группе нет ни блондинов, ни шатенов;

- в группе по одному блондину и шатену, а остальные – ни то, ни другое;

- в группе по два блондина и шатена, а остальные – ни то ни другое;

- в группе по три блондина и шатена.

Со временем Макар решил получить ещё одно высшее образование и поднять свою стоимость на рынке труда. Он прибыл в областной центр на рейсовом автобусе поздно вечером и прямом отправился заселяться в институтское общежитие.

В автобусе едут пассажиров. На следующей остановке каждый из них выходит с вероятностью ; кроме того, в автобус с вероятностью не входит ни один новый пассажир; с вероятностью - один новый пассажир. Найти вероятность того, что когда автобус снова тронется в путь после следующей остановки, в нём будет по-прежнему пассажиров.

Решение. Событие - после остановки в автобусе снова пассажиров. Гипотезы: - не вошёл никто; - вошёл один пассажир. , . Легко подсчитать, что , . По формуле полной вероятности получим:

.

В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что после двух остановок в автобусе будет по-прежнему пассажиров. При расчёте учесть, что новый пассажир также выходит с вероятностью на последующей остановке.

Решение. Рассмотрим гипотезы - за две остановки не вошёл никто; - на первой остановке вошёл один пассажир, а на второй – ни одного; - на первой остановке не вошёл ни один пассажир, а на второй – один; - на каждой остановке вошло по пассажиру. ; ; ; .

Чтобы при реализации гипотезы число пассажиров осталось , нужно, чтобы ни один из пассажиров не вышел ни на первой, ни на второй остановках: . Чтобы при реализации гипотезы число пассажиров осталось прежним, нужно, чтобы или на первой остановке вышел один пассажир, а на второй никто, или на первой остановке не вышел никто, а на второй – один пассажир:

Аналогично, но учитывая, что вошедший на второй остановке пассажир не выходит: .

Чтобы при двух вошедших пассажирах число их после двух остановок оставалось неизменным, нужно чтобы на первой остановке вышли два пассажира, а на второй никто; или на первой никто, а на второй – два; или чтобы вышло по пассажиру на каждой остановке:

.

Окончательно получим:

.

Два освещённых семиэтажных здания были хорошо видны с автовокзала. Но, присмотревшись, Сидоров оторопел. Сияющие в сумерках окна складывались в буквы довольно грубого приветствия: «Х… ВАМ». Встречали не Сидорова. В тот день вместе с Макаром в областной центр приехала аттестационная комиссия из Москвы, им то и адресовалось послание. После первого шока сотрудники отдела по воспитательной работе провели расследование и взяли объяснительную записку с каждого студента, в чьих окнах горел свет в тот злополучный вечер. Но что интересного могли написать потенциальные злодеи? Пятеро решали задачи, двадцать пять человек изучали конспекты по квантовой электродинамике, трое играли в шахматы, пятеро слушали радио, двое писали письмо родителям, один забыл выключить свет в комнате. Чтобы эксцессов не случилось в день отъезда важных гостей, были приняты профилактические меры: в каждой комнате, где горел свет в день приезда комиссии сидел активист из студенческого совета или работник службы охраны. Поэтому с автовокзала в тот день было отлично видно светящиеся окна общежития, на фоне которых темнела всё та же надпись.

Когда Сидоров приезжал на сессию в областной центр, он поселялся в общежитии к старинному приятелю Родиону Сысоеву и на месяц становился свидетелем его деловой и личной жизни. Для удовлетворения своей совсем незначительной потребности в общении, Родион держал в клетке ручного крыса по имени Тарас. Внешне Тарас был ничем не примечательной серой лабораторной крысой, но характер имел незаурядный. На второй неделе совместного проживания с Родионом, Тарас научился открывать свою клетку и вольно путешествовал по комнате. За время путешествий, крыс проел три учебника по информатике и теплотехнике, прогрыз, любимый ангорский шарф, покрывало и две жилетки, легкомысленно оставленные на кровати. Менее терпеливый человек, чем Родион, прикончил бы паразита немедленно или передарил лучшему другу вместе с затейливой клеткой. Но не таков был студент Сысоев. Он решил, что вещи всё равно испорчены (а он впредь будет аккуратнее), и разрешил крысу гулять, где и когда вздумается. Он запирал его в клетке (и даже привязывал дверь капроновой несъедобной ленточкой) только в такие вечера, когда в гости к нему собирались впечатлительные барышни. Благодарный крыс немедленно наловчился обедать вместе с Родионом: есть суп из его тарелки и утаскивать хлеб у него из-под носа. Но хозяин только меланхолично, с нескрываемым умилением глядел, как Тарас ест свой сухарик, по-беличьи держа его в передних лапках. Однажды в гости к Родиону пришла Танечка Птицына. Намерения у Сысоева были вполне романтические. Он закупил свечи, диск эльфийской музыки «Песни сумерек» и две правые куриные ноги средней упитанности. Ноги были зажарены в фольге и выложены на капустный лист (начитанный Родион искренне считал, что эльфийские девы питаются преимущественно зеленью и иногда дичью), шторы задёрнуты. Едва Родион успел закончить уборку (всё лишнее, было плотно упихано в стенной шкаф) и завести диск – Танечка явилась. Поначалу всё шло гладко. Они беседовали о погоде, об электротехнике, о видах на урожай болиголова. Танечка похвалила курицу, улыбнулась, и Родион едва удержался, чтобы не сказать, что не только сам прожарил, но и вырастил эту птичку для неё на чисто эльфийских кормах. Он готов был говорить что угодно, отвлекая слушательницу от своих нехитрых маневров. За разговорами, он придвигался всё ближе, но когда случился удобный момент для того, чтобы ухватить её за талию и притянуть к себе Родион заробел. Причины этого явления остались для него неясными, но в тот вечер, бесконечно удивив свою гостью, он внезапно полез под стол. Под столом стояла клетка, в которой мирно дремал толстый после ужина Тарас. Родион вытащил его из клетки и принялся целовать усатую мордочку, приговаривая: «Вот какой славный у меня Тарасик, чудная мышка, маленький дружок…». Видимо, это сработала эльфийская магия. Танечка пожала плечами и, не дожидаясь кофе, распрощалась. Тарас закончил свои дни печально. Став пожилым матёрым крысом, он завёл привычку спать в хозяйских тапках. Там он чувствовал себя дома, спокойно и уверенно. В тапках было тихо, уютно, пахло хозяином. Обычно Родион был аккуратен и постоянно смотрел под ноги, чтобы не напугать своего товарища, но, однажды, судьба Тараса свершилась. Образцовый студент Сысоев, как водится, всё дела, связанные с учёбой, делал в последний момент. Он целую ночь зубрил конспект перед экзаменом и заснул только к утру, не сумев преодолеть отвращения к особенно длинной формуле. Будильник, призванный вернуть его к реальности, зазвонил слишком внезапно и слишком пронзительно. Родион подлетел с кровати, сунул ноги в тапки и, не просыпаясь, помчался умываться. Умывшись, он понял, что лёгкое неудобство при беге по комнате, на которое он не сразу обратил внимание – это раздавленный и не поддающийся реанимации Тарас. Родион загоревал не на шутку. Он, разумеется, побывал в тот день на экзамене, получил тройку, но, как он туда добрался, какой билет вытащил, что рассказывал преподавателю, ему впоследствии так никогда и не удалось вспомнить. Вечером он уложил крыса в коробку из-под ботинок, для надёжности замотал коробку чёрной изолентой и закопал под кустом сирени во дворе общежития. После совершения этого торжественного акта, он позвал приехавшего на сессию Макара Сидорова на поминки своего меньшого соседа. Они купили 0,7 портвейна в ближайшем магазине «Наутилус», и со скорбными физиономиями провели остаток вечера всё под тем же кустом сирени, вспоминая юность и зрелые годы серого плута Тараса. Вспоминал и тосковал по большей части Родион, печаль же Макара была не вполне искренней (он высоко ценил своего приятеля и соседа по общежитию, и за его кулинарные таланты, и как оригинального собеседника, но ему не слишком нравилось делить свой обед и ужин с крысом и прятать одежду повыше и подальше). Комната в общежитии стала для него гораздо привлекательнее, после того, как в ней перестал хозяйничать самонадеянный и разбалованный Тарас. Однако из мужской солидарности, требующей от товарищей единства мнений по самым нелепым поводам, он кивал головой, поднимал стакан с портвейном «за незабвенного дружка» и наутро завалил зачёт по истории атеизма. Завалил он его не потому, что не готовился – кому из студентов заочников придёт в голову учить этот фундаментальнейший в техническом вузе предмет – но голова его так болела, что он не смог опознать преподавателя, принимавшего зачёт, погнался не за тем, перепутал аудитории и, как выяснилось в ходе беседы не с тем преподавателем, забыл зачётку в кармане другого пиджака.

После того, как Сидоров 25 раз завалил тест по истории атеизма, он решил, что вернее всего ему застрелиться. Решив застрелиться, Сидоров приставил пистолет к виску и начал нажимать на курок. Вероятность, что осечки не будет 0,6. Стрельба заканчивается после первого попадания. Сколько выстрелов может совершить Сидоров?

Получая второе высшее образование, Сидоров стал много прогуливать. Он научился быть студентом, а идеальный студент, как общеизвестно, достигает наилучшего результата в учёбе, затрачивая минимальные усилия. «Где справка от врача, Макар?» – строго спрашивал староста группы после очередного прогула Сидорова. Но Сидоров только помалкивал. Без прописки его не принимали не только ни в одной поликлинике областного центра, но даже и в здравпункте студенческого городка. Там с ним отказывались разговаривать, пока не будет пройдена флюорография. А флюорографию можно было пройти только в родном Хрюпине, где Макар был прописан, но бывал редко (и, как правило, поликлиника в эти дни не работала). Вот и получалось – докторша из здравпункта качала головой и давала советы вместо справки и рецепта. Макар даже подозревал, что умри он на месте, то будет продолжать считаться условно живым и свидетельство о смерти его родственникам никто не выдаст, пока не принесут справку всё о той же пройденной флюорографии.

Чтобы решить идти ли сегодня учиться или остаться дома Макар Иванович Сидоров подбрасывает несколько правильных монет (ну, разумеется, он перенял у Вероники Эдуардовны за время знакомства, самую нелепую из привычек!) Поскольку внутренний голос настойчиво уговаривает его остаться дома, он бросает монету снова и снова, чтобы получить нужный результат. Какова вероятность того, что при подбрасывании 100 монет выпадет ровно 50 гербов?

Решение: Расположим 100 монет в ряд слева направо, и будем подбрасывать каждую. Вероятность появления какой-либо заданной последовательности 100 гербов и решек равна , поскольку испытания независимы. Расположить 50 гербов и 50 решек в строку можно способами. Следовательно, вероятность появления равного числа гербов и решек равна (для вычислений используется формула Бернулли).

Для расчёта вероятности можно применить формулу Стирлинга: . Итак: .

Хэллоуин

История знакомства Макара Ивановича Сидорова и Натальи Александровны весьма нетривиальна и поучительна. Они встретились на кладбище, и после этой встречи и без того робкий и непопулярный среди чудесных провинциальных барышень Сидоров окончательно потерял веру в себя.

На хрюпинском кладбище около заброшенной церкви уже года три никого не хоронили, хотя на воротах была прибита приветливая новенькая табличка: «Добро пожаловать, мы Вам рады!» а многочисленные ритуальные агентства обещали в своих объявлениях: «Вывоз тела бесплатно. Приём заказов по захоронению на дому. Скидки», «Ритуальные услуги: цветы, венки, ленты «Выпускник 2004» (среди прочих висело также объявление «Сдаётся в аренду гроб б\у в отличном состоянии. Тел. [phone]. Звонить утром»). Кладбищенский кризис случился потому, что присланный из области пастырь - отец Андриян, человек образованный и энергичный - сумел кладбищенскую землю приватизировать и назначил за погребение такие суммы пожертвований, каких у жителей города отродясь не было. А чтобы не допустить самоволки и безобразий деловитый священник снарядил двоих самых преданных прихожан дежурить по очереди, и они, мрачно сверкая очами, ночами напролёт ходили с лопатами вдоль кладбищенской ограды, отпугивая прохожих.

Была у хрюпинского кладбища ещё одна удивительная особенность. Только отсюда можно было позвонить по мобильнику, в любом же другом уголке Хрюпинска сигналы не проходили - такая вот природная аномалия. Причём лучше всего телефонного собеседника слышно было поздно вечером и ночью, поэтому горожане ходили на кладбище как на переговорный пункт. У каждого хрюпинца имелась излюбленная могила, где можно было, устроившись на скамеечке, вдоволь наговориться с родственниками, проживающими в другой местности.

В тот день, когда Сидоров подарил себе телефон (а именно 30 октября), он отправился экспериментировать с ним на кладбище. В сумерках он долго бродил по дорожкам в поисках лучшего приёма, полез, было вверх, но его одёрнули: «сошёл бы ты с могилки-то милый…». Тогда он присел на ближайшую плиту (украшенную оптимистичной надписью «Дорогому отцу, брату, дяде, мужу, сыну на день рождения от любящей семьи. Помним, Любим. Скорбим.») и начал небыстрые переговоры с областным центром. То обстоятельство, что он сидит ночью на могиле, не слишком беспокоило Макара Ивановича, он сам всегда был не прочь поразвлечься с друзьями и покуролесить в Хэллоуин. Пассажиры поезда № 357659 «Хрюпин - Закозельск» вряд ли когда-нибудь забудут Сидорова с товарищами, вырядившихся по случаю дна всех святых в окровавленные (томатным соком) балахоны и в масках черепах, с косами бродящих по перрону и заглядывавших в окна вагонов. Двух беременных пришлось немедленно увезти в моргроддом, а присутствовавший при инциденте отец Андриян почти уверовал в Бога, но приступ благочестия закончился без лекарств и без последствий через 42 минуты. Однако, в тот памятный день, Макар, увлечённый телефоном, остался один, потерял бдительность и не заметил приближения по кладбищенской аллее своей судьбы.

Наталья Александровна в этот период своей жизни была готкой и немного сатанисткой (молодой человек, который привлёк её внимание в тот момент времени, был как раз законченным сатанистом, и став готкой, она собиралась достичь с ним духовной близости). Хэллоуин барышня отмечала в одиночестве, прогуливаясь по кладбищу в раздумьях о покупке новой сумки. Наталья в тот вечер была диво как хороша: бледная блондиночка (хотя и несколько крупноватая) в чёрных одеждах, в звенящих талисманах и с брызгами крови на щеке. Накануне она купила себе в магазине готских приколов «Упырь» вампирские челюсти, примерила их и поэтому её хэллоуинская улыбка выглядела несколько двусмысленно, хотя и вполне привлекательно. Ей немедленно хотелось проверить действие своей вампирской харизмы хоть на ком-нибудь. Поэтому, высмотрев в конце дорожки, сидящего на могиле Сидорова, Наталья легчайшим шагами подошла к нему, положила руку на плечо, и, когда тот обернулся, улыбнулась и пролепетала: «милый, милый …». Больше она ничего не сказала. Право не знаю, фантазии ей не хватило или времени. Макар потерял дар речи и сознание. Когда же несчастный очнулся, оказалось, что он заикается, а правый глаз его нервно дёргается. Как порядочная девушка, Наталья Александровна вынуждена была выйти за него замуж.

Дата добавления: 2015-08-05