Закон больших чисел 3 страница

Фёдор Михайлович теоретически знал, что ни одно доброе дело не должно остаться невознаграждённым. Он знал, что за решение вопроса чиновнику следует сделать подарок или оказать ответную услугу. Об этом он читал во всех газетах и журналах. Поэтому Фёдор Михайлович собрался с духом и обратился к властительнице судеб: «У меня сейчас … э-э-э … плохо с деньгами, но я бы … э-э-э … мог бы отработать …, помочь Вам профессионально …». Паспортистка мгновенно представила себе Бобина оказывающего лично ей профессиональные услуги и заметно побледнела, после чего энергично отказалась от помощи патологоанатома. После недолгой темпераментной беседы они сошлись на том, что прописать в морге живого гражданина нет законных оснований, а значит, и требовать плату за проживание через суд не получится. Поэтому сошлись на том, что гр. Бобину Ф.М. будет регулярно платить за выделенную комнату на окраине за себя одного, помогать московскими продуктами труженикам ЖКК и не слишком привлекать к себе внимание обывателей Хрюпина. Всё пошло как по маслу. Фёдор Михайлович сделал ремонт в своём морге, оклеил стены весёленькими голубыми обоями, сменил люстру, начал приглашать гостей и устраивать вечеринки с песнями под гитару и танцами под магнитофон. Через пару месяцев Бобин смастерил стол для настольного тенниса и на ближайшем к моргу заборе время от времени начали появляться объявления, написанные на клетчатом листочке, вырванном из школьной тетради, и сообщавшие, что в морге состоится турнир Хрюпина по настольному теннису. Вечеринки стали частыми и людными. Правда иногда слегка выпившие гости забредали не туда и натыкались на каталки с трупами, сильно пугались, но потом привыкли, присаживались поблизости, закуривали и неторопливо рассуждали о жизни (граждане на каталках были благодарными слушателями, никогда не перебивали, были трезвы и молчаливы) …

Юный Сидоров любил большой теннис, но игроком был неопытным и неловким. Чтобы простимулировать дальнейшие тренировки, старший Сидоров предложил ему турнир и большой приз в случае выигрыша: три игры, в которых Макар должен был победить два раза подряд. Порядок игр мог быть различным. Либо «мать-отец-мать», либо «отец-мать-отец». Макару следовало выбрать, какой порядок игр для него предпочтительнее, с учётом того, что отец играет лучше матери (вероятность, что Макар выиграет у отца составляет , у матери - , причём ).

Решение: Рассмотрим обе схемы турнира. Результаты игр представлены в таблице (табл.2):

Таблица 2.

Отец-мать-отец	Вероятность исхода игры	Мать-отец-мать	Вероятность исхода игры
Сумма вероятностей		Сумма вероятностей

Поскольку :

Можно предположить, что, чем больше математическое ожидание числа успехов, тем больше вероятность выиграть приз. Но в задаче среднее число выигрышей по схеме Отец-мать-отец равно , и оно меньше, чем среднее число побед по схеме Мать-отец-мать .

Карьера санитарки в Хрюпине

В то же жильё через семь месяцев привёл Фёдор Михайлович молодую жену Алевтину. Они познакомились на экскурсии по историческим местам хрюпинского района, и он представился врачом, чтобы не отпугнуть симпатичную девушку, а когда его узкая специализация стала известна юной Але (скажем точнее, условно юной), оказалось, что это её совершенно не беспокоит. Однажды, видимо полностью утратив чувство реальности, Бобин пригласил Алевтину к себе в гости в морг. Он решил потрясти и увлечь её рассказами о своей работе (напомним, что Фёдор Михайлович был очень компетентным, очень увлечённым, много работающим патологоанатомом), а как апофеоз - окончательно поразить воображение небольшой экскурсией к месту непосредственно к месту вскрытия. Алевтина не дрогнула, когда Фёдор выкатил каталку и включил свет. Она даже не поморщилась (помог сильнейший насморк), а только поправила очки, облизнула подсохшие губы и потянулась посмотреть поближе, движимая извечным женско-кошачьим любопытством. Содрогнулся как раз Бобин, увидев, как любимая барышня, облизываясь, тянется к трупу. Он даже хотел бежать, но вовремя опомнился. Фёдор Михайлович был реалистом и поэтому отчётливо понимал, что если он упустит Алевтину, то другого шанса обзавестись семьёй хрюпинская жизнь может ему не дать.

Ничего странного, однако, в поведении подруги Фёдора не было. Алевтина начинала свою трудовую жизнь санитаркой в хрюпинской больнице, работая на две ставки. И работать в морге ей уже приходилось. Работала она хорошо, поэтому добрейшую Алевтину очень ценил главврач хрюпинской больницы («где же я найду другого человека на такую зарплату? - задавал он себе вопрос и отвечал - а нигде не найду, пропадём все», и уважал её ещё больше, но премий не выписывал). А больные в стационаре (потенциальные клиенты морга), те просто любили её и никому в обиду не давали. Кто, спрашивается, мог её обидеть? Да никто, конечно, но была однажды история … Бес попутал … Но, только однажды! Эта история началась в пятницу вечером. И что досадно, покойников-то было мало: старый Макаров, очень старый Петров и неопознанная бродяжка, всю зиму пролежавшая в сугробе у дороги. Алевтина без спешки зашила всю компанию после вскрытия, тщательно намыла привезённым с таможни французским мылом и принялась разбирать одёжки, принесённые безутешной роднёй и сваленные на лавку. Она, не торопясь, надела на покойников носки, трусы, рубахи. Но тут случилась заминка. Безалаберные родственники Макарова и Петрова не оставили записки с подписью в карманах пиджаков и определить где чьи вещи, было совершенно невозможно. На кого какой пиджак надеть, и который из галстуков привязать на тощую шею двойным виндзорским узлом? Алевтина вздохнула, и, понадеявшись на авось, надела пиджаки на клиентов без дополнительных разбирательств, где чей. Одним словом, галстуки и пиджаки она перепутала. Перепутала! Между тем, сын и племянники Петрова пришли забирать своего старика до того пьяные, что Алевтина не решилась близко к ним подходить, только махнула рукой, откуда клиента забрать и куда выносить. Они и вынесли. Узнали галстук синий с якорями и забрали. Унесли, хотя никто их не торопил и не мешал посмотреть в лицо покойнику. Через полчаса явились безутешные родственники деда Макарова. Они забрали оставшегося покойника (выбора, заметим, у них не было), и, ничего не сказав, уехали. Алевтина вздохнула с облегчением: «пронесло», надела бесприютной бродяжке поношенный больничный халат, выключила везде свет, заперла дверь и пошла домой. Некоторые, слышавшие эту историю удивлялись: как такое могло быть, ведь должны быть оформлены документы, расписаться надо было в бумагах. Но уж очень не хотелось разводить бюрократию в пятницу вечером. «Неужели, - думала Алевтина, - родня своего покойника не узнает?»

Опечаленная родня к мужикам в гробах не присматривалась. Скорбящие родственники проходили мимо гроба, вздыхали по протоколу, и торопилась за стол помянуть их «по-человечески». Собравшиеся вели беседы о возвышенном. Упоминалось, что «все там будут», что «им там лучше, чем нам здесь, отмаялись». Ближе к полуночи настроение на обоих поминках, хотя и проходили они в разных местах, изменилось. Гости вели всё более оживлённые беседы, пили за «здоровье дорогого усопшего» и пытались плясать. А утром сын Петрова Игнат заглянул в гроб и заметил, что нос у бати как-то странно выглядит, курносый какой-то нос, а у них «батя был как орёл»! Для уверенности он поискал у трупа на руке татуировку с названием корабля, на котором отцу в молодости довелось служить – татуировки не было. Ужас! Приехавшая из Рязани, полуслепая сестра старого Петрова начала было говорить, что надпись стёрлась, или смылась …. Но все уже поняли «враги батю подменили». Игнат, помчался к Алевтине, узнал, где живут родственники отцовского соседа по моргу, и бегом пустился на кладбище (тогда ещё работавшее). За ним спешили другие родственники, недобрым словом поминая всё ту же Алевтину. Алевтина нервничала, хотя и не чувствовала себя особенно виноватой. Но уж очень диким выглядел молодой Петров. Между тем, Макаровы уже опустили свой гроб в яму и бросали на крышку первые комья земли. «Не того батьку зарываете», - закричал Игнат прямо от ворот. Один из макаровских мужиков выронил лопату. «Проспись, алкаш», - ласково посоветовали землекопы прибежавшему молодому Петрову. Но тот уже спрыгнул в яму к макаровским и между скорбящими родственниками начался зажигательный мордобой. Тут с ещё одним гробом на плечах подоспело семейство Петровых. Крышки расколотили, предъявили опешившим Макаровым их деда и потыкали пальцем в татуировку на руке собственного покойника. Собравшиеся семейства спешно обменялись гробами, и торопливо закопали, чтобы избежать дальнейших недоразумений, и уже все вместе отправились отмечать примирение. А поскольку старой сестре Петрова надо было срочно ехать домой, то на пятый день заодно отмечали и день девятый и сороковой. Поначалу и Петровы, и Макаровы были настроены по отношению к моргу и лично Алевтине весьма решительно: они собирались идти в суд и требовать возмещение морального вреда. Но через пару дней страсти улеглись, и состоялось окончательное примирение сторон (что тоже необходимо было отметить). Алевтина продолжала работать санитаркой, но от греха подальше, больше подработок в морге не брала. Так Фёдор Михайлович и остался в неведении о месте работы своей невесты. Она же всегда рассказывала ему, что служит медсестрой в глазном отделении.

Хорошенькая Алевтина несколько задержалась с замужеством, потому что была в ранней молодости слишком разборчивой невестой. Она имела женихов и должна была сделать наилучший выбор поставленной в весьма сложные условия. Заранее она ничего не знала о своих женихах, кроме их общего числа - . Женихи знакомились с ней по очереди (представляясь барышне один за другим), так что встречая очередного жениха, она уже знала всех предшествующих. Задача выбора осложнялась тем, что отвергнутые женихи обратно не возвращались. Алевтина могла, конечно, выбрать первого же жениха, и тогда выбор был бы немедленно закончен. Но при большом такие действия неоправданны. Можно осмотреть первых женихов, никого из них не выбирая и надеясь на лучшее среди оставшихся. Но тогда возникает опасность упустить самого лучшего!

Решение. Поставим в соответствие каждому претенденту точку на действительной прямой с координатой . Точки появляются случайно одна за другой, и нужно остановить этот процесс так, чтобы остановиться, по возможности на точке с наибольшей координатой .

Рассмотрим следующую стратегию. Назначаем число (в зависимости от ) и наблюдаем процесс до появления «пробных» точек, останавливаясь затем на первом максимуме (то есть на первой точке, появившейся правее пробных точек, взятых для сравнения с последующими). Какова вероятность того, что при такой стратегии мы сможем остановиться на абсолютно максимальной точке? После первой, для второй точки имеются две возможности – быть правее или левее. Вообще после появления -й точки имеется промежутков, куда может попасть следующая -я точка. Число всех возможных расположений равно числу перестановок из и равно Пусть все расположения равновероятны. Рассмотрим те исходы, при которых предложенная стратегия выбирает -ю по счёту точку (событие ). Выбор -й точки (остановка на -м шаге) означает, что все точки на этапах от до располагаются левее крайней правой из первых пробных точек, а -я - правее их всех. На расположение первых точек это не налагает каких-либо ограничений., но для -й точки имеется не промежутков среди первых точек, как раньше, а (она не может быть крайней правой), для -й имеется промежутков, куда она может попасть, …, для -й имеется промежутков, для -й имеется единственная возможность – попасть правее всех предшествующих, затем для -й имеется уже промежутков и т. д., - всего:

исходов.

Таким образом, вероятность сделать выбор на -м шаге (согласно предложенной стратегии по первым образцам) есть

,

Конечно, имеется возможность вообще ничего не выбрать – так случится, если максимальная точка попала в число первых (пусть это будет событие ). Пусть означает остановку на максимуме (выбор абсолютно максимальной точки). Рассмотрим событие - сделать наилучший выбор на -м шаге. Очевидно, если -я по счёту точка оказывается абсолютно максимальной, то для каждой следующей -й точки имеется не промежутков, куда она может попасть, а лишь (она не может попасть правее наибольшей). Это даёт число исходов , отличающееся от числа тем, что вместо последних сомножителей нужно взять , что даёт:

.

По формуле полной вероятности получим, что вероятность сделать наилучший выбор равна:

.

Можно показать, что при оптимальной стратегии, когда вероятность сделать наилучший выбор является наибольшей оптимальное таково, что , при . Для этого используется соотношение:

и тот факт, что является точкой максимума функции при .

Алевтина уже построила планы будущей совместной жизни, и такое незначительное обстоятельство, как совместное проживание в морге, не могло повлиять на её желание стать замужней дамой, постоянно пользоваться горячей водой и собственным мужчиной. Свадьбу сыграли весной, когда ароматное облако яблоневых и вишнёвых цветущих садов накрыло город. Главврач заведения, в котором трудился Бобин, выписал ему материальную помощь, подписал заявление о недельном отпуске и выделил машину для доставки гостей. В этот вечер обыватели Хрюпина, которые и не подозревали о тайной жизни московского патологоанатома, были потрясены невиданным зрелищем. Вечером к подъезду морга подлетела лихая машина скорой помощи, разукрашенная лентами и шарами. Из неё на слабо освещённую улицу высыпали нарядные и уже изрядно повеселевшие гости, выскочил гармонист и нестройный хор исполнил несколько фривольных частушек (текст которых и процитировать неловко). Сияющий жених подхватил на руки невесту, занёс её на крыльцо, перенёс через порог и устремился по коридору мимо стеклянных шкафов и рекламных плакатов фирмы ритуальных услуг к праздничному столу. Гости последовали за ними. Веселье продолжалось до утра – гремела музыка, гости кричали «Горько!», в окнах горел свет и двигались тени. Бабка Клеопатра Конопьяновна, под утро возвращавшаяся домой, решила, что наступил конец света, если покойники повскакали со своих каталок и устроили пляски. Крестясь и причитая, она пробежала полкилометра до своего крыльца в рекордно короткие сроки (если быть совсем точным, то и в свои молодые годы она так резво не бегала).

На следующее утро бабки Клеопатра Конопьяновна и Эсмеральда Арепьевна (бабки были самые обычные, а своими замечательными именами они, очевидно, были обязаны просвещённому политическому ссыльному, поселённому в Хрюпине и подсказавшему их родителям, как следует называть девок), ожидая на лавке открытия магазина, обсуждали свадьбу. Обсудили и машину, и невесту, и гармониста. Обсудили даже случавшуюся коллективную драку, но пришли к выводу, что в целом свадьба была недостаточно хороша, потому что в драке «никого даже не убили». Скука!

В положенное время родился Михаил Фёдорович Бобин (второй) – Фёдор Михайлович при этом автоматически стал Бобиным первым - и Алевтина, с некоторым нетерпением, ожидала возвращения домой. Роддом в Хрюпине был не слишком комфортным. Наоборот, это было довольно ветхое здание - бывший купеческий дом, переоборудованный в учреждение здравоохранения. Стофилокок, устойчивый к любым обработкам, жил там и в стенах, и в пелёнках (как в заповеднике), носился в воздухе. Крыша протекала, сантехника чаще ломалась и ремонтировалась, чем работала, а из столовой скорбно тянуло подгоревшей кашей и морковными биточками. Поэтому в пятидневном возрасте дитя Бобиных было доставлено из роддома прямиком в морг, где заботливый отец уже наладил кроватку и стол для пеленания (поближе к форточке, чтобы ребёнку пахло свежестью, а не вскрытым кишечником). Теперь верёвки из зала для траурных церемоний не убирали и днём, между венками и гробами сохли рядами пелёнки, кофточки и ползунки, а в углах завелись плюшевые и пластиковые зверюшки. Когда чаду исполнилось три года, все имевшиеся родственники обоих Бобиных собрались с силами и средствами, и помогли молодым переехать в отдельную квартиру. Но в отделе народного здравоохранения помнили об отлично обжитой половине морга. Поэтому, когда грянул финансовый гром и расходы на провинциальную медицину были сокращены, а роддом окончательно пришёл в негодное состояние, в глубинах чиновничьих умов явилась Идея. Было решено объединить под общей крышей и морг, и роддом. Такое объединение было вполне в духе закона исторического материализма о единстве и борьбе противоположностей и должно было настраивать обывателей Хрюпина на диалектический стиль мышления. На диво оперативно было пристроено ещё одно крыльцо на противоположной стороне здания, заказана ещё одна вывеска, завезено оборудование и … Началась новая жизнь! Утром спешили к рабочему месту специалисты, то с одной стороны, то с другой подъезжали машины скорой помощи или отъезжали такси или автобусы. У каждого крыльца открылся соответствующий магазин сопутствующих товаров. А, напротив, через дорогу, бойко торговали крепкими напитками в фирменном магазинчике «Водолей и дельфин». Главврач начал вынашивать идею открытия в подвальном помещении банкетного зала, который бы обслуживал оба заведения здравоохранения. В этом-то родморгдоме и появился на свет Макар Иванович Сидоров.

Дошкольные и школьные годы Макара прошли своим чередом, мало отличаясь от жизни его ровесников: походы, костры в овраге, долгие беседы на прогретой крыше гаража, строительство запруд и поджог забора... Можно было бы написать об этом времени отдельную книгу, и не одну, но этот период его жизни выходит за границы нашего повествования. Закончилось детство (или уже началась ранняя юность?) выпускным школьным вечером.

После окончания выпускного вечера Сидоров возвращается домой. Поскольку вечер прошёл весело, Макар потерял направление и оказался на крутом берегу реки на расстоянии одного шага от обрыва. Не замечая опасности, он шагает случайным образом либо к обрыву, либо от него. На каждом шагу вероятность отойти от края равна , а шаг к краю обрыва имеет вероятность . Каковы шансы Сидорова избежать падения.

Решение. Рассмотрим первые несколько шагов, описанные в задаче. Схема (рис.6) иллюстрирует тот факт, что Сидоров может упасть вниз только через нечётное число шагов. После одного шага вероятность упасть вниз равна . Пусть добавляет ещё к вероятности падения, давая общую вероятность несчастья . После пяти шагов пути и вместе добавляют к вероятности падения, давая общий результат и т.д.

Рисунок 6. Схема блуждания Сидорова, показывающая вероятности нахождения на разных расстояниях от края пропасти
Рисунок 7. Схема движения частицы по числовой оси.	Рисунок 8. Вероятности поглощения

Задача сводится к задаче о случайном блуждании частицы, движущейся по оси. В начальный момент времени она находится в положении . Вероятность шага направо составит . Поэтому частица из первоначального положения 1 попадает либо в точку с вероятностью , либо в точку с вероятностью (рис.7). В общем случае, если частица находится в положении , - целое число, то она сдвигается либо в точку с вероятностью , либо в точку с вероятностью . Если частица попадает в положение , то там она поглощается (и далее не делает других шагов). Найдём значение вероятности того, что частица поглощается в точке , если она выходит из точки . Значение зависит от (кажется естественным, что если близка к 1, то мала, а если близка к 0, то мало отличается от 1).

Дата добавления: 2015-08-05