Важнейшие законы распределения случайных величин

Распределение дискретной случайной величины X, равной количеству наступлений события А («успехов») в схеме испытаний Бернулли из n испытаний называется биномиальным распределением. Ряд распределения дискретной случайной величины, подчиненной биномиальному закону, представлен в таблице (Табл. 5):

Таблица 5.

	0	1	…	k	…	n
			…		…

(формула бинома Ньютона)

, .

Пример. На некотором участке дороги 80% водителей соблюдают скоростной режим, предусмотренный правилами. По дороге проехали 5 автомашин. 1). Составить закон распределения случайной величины Х - числа водителей, соблюдающих установленные ограничения по скорости; 2) Найти: а) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины; б) коэффициент асимметрии; в) вероятность того, что в произвольно выбранный день соблюдают скоростной режим не меньше трех водителей. 3) Построить многоугольник распределения этой случайной величины и найти ее функцию распределения.

Решение. 1)Вероятность соблюдения водителем скоростного режима постоянна, поэтому случайная величина Х распределена по биномиальному закону с параметрами , (). Х принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Вероятности, с которыми она принимает эти значения, вычисляем по формуле Бернулли:

.

;

;

;

;

;

= .

Ряд распределения Х представлен в таблице 6.

Таблица 6.

	0,00032	0,0064	0,0512	0,2048	0,4096	0,32768

2) а) ;

.

б) Коэффициент асимметрии находим по формуле ,

где – третий центральный момент вычислим по формуле ; .

Заметим, что «левый хвост» на многоугольнике распределения случайной величины Х «тяжелее» правого, что соответствует условию .

в) Вероятность того, что в произвольно выбранный день соблюдают скоростной режим не меньше трех водителей, найдем по формуле:

.

3) Многоугольник распределения случайной величины Х изображен на рис.37.

Рисунок 37. Многоугольник распределения (полигон) дискретной случайной величины .

4) По определению функции распределения находим:

Если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то

;

если , то

;

если , то

;

если , то

.

Итак,

Распределение дискретной случайной величины Х, принимающей значения с вероятностями , где – некоторый параметр, называется пуассоновским распределением (распределением Пуассона). Ряд распределения представлен в таблице 7.

Таблица 7.

					…	k	…
					…		…

.

, , а .

Для редких событий закон распределения Пуассона является хорошим приближением биномиального закона. При достаточно больших n и малых значениях p (), и при условии, что произведение np – постоянная величина () справедлива теорема:

, где ,

Пример. Для ремонта тротуара закуплено 1000 качественных керамических плиток. Вероятность того, что плитка разобьётся при транспортировке равна 0,004. Составить закон распределения случайной величины Х – числа повреждённых при транспортировке плиток. Найти среднее число разбитых плиток. Найти вероятность того, что будет разбито не более трех плиток.

Решение. Число испытаний достаточно велико, а вероятность наступления события (повреждение плитки) в каждом из них мала, поэтому можно считать, что случайная величина Х – число повреждённых при транспортировке плиток – распределена по закону Пуассона. Ее возможные значения 0, 1, 2, 3, …, 1000. Соответствующие вероятности вычисляются по формуле . Параметр . Ряд распределения случайной величины Х представлен таблицей 8.

Таблица 8

					…	k	…
					…		…

Учитывая, что , получаем ряд (табл.9)

Среднее число разбитых при транспортировке плиток .

Таблица 9.

					…	k	…
	0,0183	0,0732	0,1464	0,1952	…		…

Найдем вероятность того, что при транспортировке будет разбито не более трех плиток:

Парадокс раздачи подарков. Несколько человек решили сделать друг другу подарки следующим образом. Каждый приносит подарок. Подарки складываются вместе, перемешиваются и случайно распределяются среди участников. Такой способ раздачи справедлив, так как для больших групп людей вероятность совпадения (получения кем то собственного подарка) очень мала. Парадоксально то, что вероятность, по крайней мере одного совпадения, намного больше вероятности того, что совпадений нет (за исключением случая, когда группа состоит из двух человек, при этом вероятность совпадения составит 50%).

Решение. Рассмотрим компанию из человек, тогда число подарков также составит . Подарки могут быть распределены различными способами (общее число исходов). Число исходов в которых никто не получит собственный подарок (благоприятствующих наступлению рассматриваемого события), равно: Поэтому отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов вычисляется по формуле: (и при ).

Например, когда собираются 6 человек : с точностью до 4 знаков после запятой. Вероятность совпадения - (и при увеличении ). Несмотря на малость вероятностей совпадений, вероятность того, что произойдёт, по крайней мере, одно совпадение примерно равна . В более общем случае, вероятность ровно совпадений равна .

Рассмотрим совокупность из человек и подарков. Теперь подарки распределяются таким образом, что каждый человек может получить любой подарок с одинаковой вероятностью независимо от распределения других подарков. Следовательно, возможно, что кто то получит более одного подарка, а некоторые не получат подарков совсем. Тогда подарки могут быть распределены различными способами ( - общее число исходов). Событие заключается в том, что определённый человек не получает подарка. Тогда все подарков распределяются среди оставшихся человек, и это можно сделать способами. Вероятность события равна . Последовательность , как и сходится к . Обобщив результат, получим: вероятность того, что определённый человек получит ровно подарков сходится к при .

Далее рассмотрим случай, когда число людей не обязательно совпадает с числом подарков . Тогда искомая вероятность . Если отношение стремится к числу (то есть среднее число подарков, приходящееся на одного человека равно или стремится к ), то сходится к (где может быть любым положительным числом). Наконец, вероятность того, что определённый человек получит ровно подарков, сходится к . Итак, случайное число подарков, которые получит определённый человек, приблизительно подчиняется распределению Пуассона с параметром , если среднее число подарков, приходящихся на одного человека равно . Число людей, которым достаются их собственные подарки в «парадоксе раздачи подарков» подчиняется распределению Пуассона с параметром . Этот результат естественен, поскольку в среднем имеется только один человек, получающий свой собственный подарок (вероятность того, что определённый человек получит свой собственный подарок - , и для человек сумма таких вероятностей составит 1, каким бы ни было ).

Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение с параметром р, если она принимает значения 1,2,3,4,…. k,... c вероятностями , где , а р – вероятностьпоявления события А в одном испытании (геометрическим распределение называется потому, что вероятности образуют геометрическую прогрессию). Ряд распределения представлен таблицей 10.

Таблица 10.

				…	k	…
	р			…		…

.

; .

Пример. Начинающий стрелок ведёт стрельбу по мишени до первого попадания (число выстрелов не ограничено). Шансы попасть в мишень остаются неизменными и составляют 20%. Составить закон распределения случайной величины Х – числа выстрелов. Найти наиболее ожидаемое число выстрелов в этих условиях.

Решение. Стрелок может поразить мишень с первой, со второй, с третьей и т.д. попытки. То есть множество возможных значений Х имеет вид . Случайное событие , означает, что первые попыток были неудачными, и лишь k -я попытка – успешной. Случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром р =0,2. Ряд ее распределения имеет вид (табл.11):

Таблица 11.

					…	k	…
					…		…

Наиболее ожидаемое число выстрелов равно : .

Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения c вероятностями . Ряд распределения этой случайной величины при условии, что задается таблицей 12:

Таблица 12.

				…	m	…	n
				…		…

Если , то в последнем столбце вместо n стоит М.

Гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами N, M, n. , .

Пример. В ящике лежат 7 одинаковых деталей, 4 из которых имеют скрытый дефект. Из ящика наудачу извлекается 3 детали. Найти закон распределения случайной величины Х – числа деталей с дефектом в выборке. Построить многоугольник распределения случайной величины Х, математическое ожидание и дисперсию числа деталей с дефектом в выборке. Найти вероятность события: .

Решение.Случайная величина Х принимает значения 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений находим по формуле :

; ;

; .

Ряд распределения случайной величины Х представлен в таблице 13:

Таблица 13.

.

.

То есть наиболее ожидаемо иметь в выборке 2 детали с дефектом.

(По формуле )

.

Пусть и в гипергеометрическом распределении стремятся к бесконечности так, что , тогда:

разделив числитель и знаменатель дроби на , получим:

Затем обозначим , , перейдём к пределу при и окончательно получим

То есть члены гипергеометрического распределения стремятся к членам биномиального распределения как к своему пределу. Поэтому схему Бернулли можно представить как выборку без возвращения из очень большой генеральной совокупности с соответствующим составом.

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке , если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке, а вне отрезка равна нулю:

Так как , то, пользуясь условием нормировки, получаем: , . Поэтому функция плотности равномерного на отрезке распределения имеет вид:

График плотности вероятности равномерного распределения изображен на рис.38

Функция распределения для случайной величины, равномерно распределенной на , имеет вид:

Ее график изображен на рис.39.

Рисунок 38. График функции плотности вероятности непрерывной случайной величины	Рисунок 39. График функции распределения непрерывной случайной величины

; .

Медиана равномерного распределения совпадает с его математическим ожиданием, а моды равномерное распределение не имеет.

Равномерное распределение является непрерывным аналогом дискретного распределения вероятностей для опытов с равновероятными исходами.

Пример. Поезда метро идут с интервалом 5 минут. Считая, что случайная величина Х – время ожидания поезда на станции метро распределена равномерно на этом интервале, найдите: а) среднее время ожидания поезда; б) среднее квадратическое отклонение времени ожидания; в) функцию распределения случайной величины Х; г) вероятность того, что время ожидания не превысит трех минут.

Решение. а) Случайная величина Х распределена равномерно на [0,5], поэтому среднее время ожидания поезда находим по формуле мин.

б) ; .

в) Функция распределения имеет вид: .

г) Вероятность того, что время ожидания не превысит трех минут, находим по формуле: .

Распределение непрерывной случайной величины Х, заданное функцией плотности вероятности , где – некоторый параметр, называется показательным (экспоненциальным) распределением.

Функция плотности (рис. 40) быстро убывает при .

.

, .

Функция распределения случайной величины, имеющей показательное распределение имеет вид , её график изображен на рис.41.

Рисунок 40. График функции плотности вероятности непрерывной случайной величины, имеющей показательное распределение с параметром	Рисунок 41. График функции распределения непрерывной случайной величины, имеющей показательное распределение с параметром

Пример. Случайная величина Х (длительность телефонного разговора), распределенная по показательному закону задана функцией плотности . Для случайной величины Х найти: а) математическое ожидание, моду и медиану; б) дисперсию и среднее квадратическое отклонение; в) вероятность попадания в интервал (2,5).

Решение.а) Параметр , поэтому получаем по формуле . Мода непрерывной случайной величины с плотностью есть то ее значение , при котором функция достигает максимума. Так как функция плотности показательного распределения монотонно убывает на , то . Напомним, что медиана непрерывной случайной величины с плотностью определяется как такое ее значение , для которого одинаково вероятно, окажется ли с.в. Х меньше или больше , то есть выполняется условие . При ;

Решая уравнение , получим , Следовательно, .

б) ; .

в) .

Пример. Известно, что в час пик среднее время ожидания очередного покупателя, подошедшего к кассе универсама, равно 0,2 минуты. Время ожидания кассиром очередного покупателя можно считать случайной величиной, имеющей показательное распределение. Для смены ленты кассового аппарата кассиру требуется две минуты. Какова вероятность того, что за это время не образуется очередь, то есть к кассе не подойдет ни один покупатель?

Решение. Пусть Х – время ожидания кассиром очередного покупателя. По условию , тогда по формуле , получаем мин. Вероятность того, что кассиру придется ждать очередного покупателя больше двух минут равна

Распределение непрерывной случайной величины Х, заданное функцией плотности , где – некоторые параметры, , называется нормальным распределением .

Главная особенность нормального закона, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при некоторых условиях.

Если исследовать методами дифференциального исчисления, то можно убедиться в следующем:

1) Функция имеет один максимум при , равный .

2) Точки и являются точками перегиба графика функции.

3) Ось Ох служит асимптотой графика функции .

4) при любом , то есть график функции расположен выше оси Ох.

5) Так как аналитическое выражение содержит разность в четной степени, то график функции симметричен относительно прямой .

График функции плотности нормального распределения, называемый обычно нормальной кривой или кривой Гаусса изображен на рис. 42.

Рисунок 42..График функции плотности вероятности непрерывной случайной величины .

При изменении параметра а форма кривой Гаусса не меняется, график смещается вдоль оси абсцисс (на рис. 42 ). Параметр характеризует форму кривой. Наибольшая ордината кривой Гаусса обратно пропорциональна (при увеличении максимальная ордината уменьшается, так как площадь под кривой распределения должна оставаться равной единице, то при увеличении кривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси Ох, а при уменьшении кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (на рис. 42 )).

.

для доказательства используется интеграл Пуассона:

Функция распределения имеет вид: , где

– функция Лапласа. Ее график изображен на рис. 43.

Рисунок 43. График функции распределения непрерывной случайной величины .

;

= = а,, .

Если и , то нормальное распределение с такими параметрами называется нормированным или стандартным . Плотность вероятности стандартного нормального распределения , а функция распределения .

Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины:

, где .

Если интервал симметричен относительно точки и имеет длину , то вероятность попадания нормально распределенной величины в интервал вычисляется по формуле .

Геометрически есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной гауссовой кривой над интервалом .(Рис.44)

Рисунок 44. Криволинейная трапеция, ограниченная гауссовой кривой над интервалом .

Площадь под всей кривой равна единице. А площади под интервалами , , равны соответственно 0,6827; 0,9545; 0,9973 (поскольку функция быстро убывает при ). (таким образом, почти вся площадь под кривой сосредоточена над интервалом ).

Формула составляет содержание «правила трех сигм» для нормального распределения: практически достоверно, что нормально распределенная случайная величина с параметрами а и σ принимает значение в интервале .

На практике правило применяют так:

1) если распределение случайной величины неизвестно, но правило «трёх сигм» выполняется – есть основание полагать, что Х распределена нормально;

2) если известны а и σ нормально распределенной случайной величины, то правило «трёх сигм» позволяет указать интервал ее возможных значений;

3) если известно, что Х распределена нормально и известно а, то правило «трёх сигм» позволяет ориентировочно найти σ (максимально возможное отклонение от а делят на 3).

Непрерывная случайная величина имеет распределение Коши с параметрами , если функция плотности вероятности имеет вид: . График этой функции представлен на рис. 45.

Рисунок 45. График функции плотности вероятности непрерывной случайной величины, распределённой по закону Коши.

Параметр является модой и медианой случайной величины, распределённой по закону Коши. Математическое ожидание и дисперсия не существуют, так как интегралы, используемые для их вычисления, расходятся (хотя интеграл может быть вычислен).

---

Дата добавления: 2015-08-05