Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Закон больших чисел 15 страница

Читайте также:
  1. Bed house 1 страница
  2. Bed house 10 страница
  3. Bed house 11 страница
  4. Bed house 12 страница
  5. Bed house 13 страница
  6. Bed house 14 страница
  7. Bed house 15 страница

 

Воспитание молодёжи

Чёрная кубанка с красным верхом иногда творила со своим хозяином странные штуки. Надев на голову этот чудный головной убор, Иван Васильевич чувствовал прилив мудрости и решительности. Он разгуливал по хрюпинским улицам и вершил скорый суд. Разглядев на лавочке болтающих школьниц в коротеньких маечках и мини юбках, он быстрым шагом направлялся к ним, чтобы усовестить бесстыдниц и разогнать по домам к родителям. Пару раз он лично умывал в городской колонке девушек, показавшихся ему особенно развязными. Но настоящей грозой он стал для мальчишек подростков. Заметив с их стороны непочтительность к старшим и «непотребное поведение» он без предупреждения раздавал тумаки и подзатыльники (такие весомые, что шапки слетали), припомнив полученные в армии уроки рукопашного боя. По результатам этой энергичной воспитательной работы Иван Васильевич в соавторстве с Порфирием Собакиным написал статью о «духовной гигиене Отечества в период кризиса» для журнала «Воспитание школьников». Матёрые педагоги сообщали, что их работа «предпринята с целью разъяснить необходимость срочных и энергичных мер духовной гигиены в стране, где глубоко пустило корни духовно-нравственное растление нации». Статья вызвала настоящий шквал откликов и комментариев и, подчиняясь «требованию общества» Иван Васильевич издал книгу воспоминаний «Былое и Думы» (сначала он хотел назвать книгу «Что делать?», потом «Кто виноват?», но остановился на первоначальном варианте). Придуманные в муках названия казалось старому Сидорову смутно знакомым со школьных времён, и поразмыслив, он решил соригинальничать. На обложке появилось «Былое и Думы … итоги долгой жизни». В Хрюпине и окрестностях книга стала бестселлером. Школьники изучали её на уроках литературы и конспектировали в своих тетрадках, как пример патриотического чувства красочный рассказ о посещении Иваном Васильевичем Кремля. Усердные хрюпинские школяры переписывали и заучивали наизусть вот какой текст: «Прошло уже много лет с тех пор, как я с товарищами-казаками посетил Москву. Поздним воскресным вечером пришли мы в Кремль. Но нам не повезло - Кремль был закрыт для посещения. Удалось всё же пробраться в Оружейную палату и осмотреть Шлем Великого Князя Ярослава, Скипетр и Державу, посидеть в рабочем кресле Иоанна Грозного. Созерцание вещей славных российских императоров разбудило во мне благостное чувство сопричастности к нашему Отечеству. Но на выходе из Оружейной палаты мы встретились с группой рослых и нарядных юношей. Это были московские школьники. Стоило им выйти за ворота палаты, как они закурили и принялись громко сквернословить. Как мало уважения осталось в столичной молодёжи к нашим святыням. Они не постеснялись ни нас, ни кремлёвской охраны! Мы с товарищами не успели даже сделать вид, что ничего не услышали. На моей же голове и вовсе была надета старая кубанка из чёрного потрёпанного каракуля с красным верхом, поэтому неожиданно для себя матерщинники получили пинки и тумаки, от которых изо рта у них вылетели сигареты. Мы с друзьями коротко и негромко разъяснили юношам всю душевредность сквернословия и душеполезность службы в казачьих войсках. Кремлёвская охрана таинственно улыбалась, направив взгляды вдаль, сдержанно и достойно выражая свою радость в рамках приличия и устава. И сколько бы раз я ни пресекал сквернословие, никто на меня не обижался. А, встречаясь со мною снова, эти замечательные, добрые и талантливые юноши первыми здороваются, низко кланяются и радостно, с шутками и улыбками, напоминают обстоятельства нашего знакомства».

Труды и забавы возмужавшего Сидорова

По выходным Сидоров прыгал с парашютом. Он залезал на верхушку силосной башни и сигал оттуда с парашютом, заранее сшитым Натальей Александровной. Парашютов у Сидорова было 4, причём раскрывались они с вероятностью 0,75 каждый. После прыжков Сидоров собирал вещи и шёл обедать. Составить закон распределения случайной величины X – числа прыжков, совершённых Сидоровым за один выходной.

Решение. Составим закон распределения случайной величины - числа прыжков, совершённых Макаром Сидоровым. Результаты вычислений представлены в таблице (табл.6):

Таблица 6.

Значения        
Значения        
Вероятности
0,2500 0,1875 0,1406 0,4219

 

Многоугольник распределения случайной величины представлен на рис.20

  Наиболее вероятное число совершённых прыжков составит: - дисперсия случайной величины - среднеквадратическое отклонение случайной величины .
Рисунок 20. Многоугольник распределения случайной величины

Старинные приятели Иванов, Петров и Макар Сидоров борются с птичьим гриппом. Для этого они выходят на балкон рано утром и ровно в 5.00. независимо друг от друга делают залп по деревьям, на которых свила гнёзда стая ворон. Иванов поражает цель с вероятностью 0,2; Петров – 0,4; Сидоров – 0,05. Какова вероятность, что ни одна ворона не пострадала?

Макар Сидоров и его друг Игнат Петров сидят воскресным днём на лавочке и разглядывают проходящих женщин. Чтобы придать занятию смысл, они гадают по выражению их лиц замужем те или нет. Наконец, в поле их зрения появляется весьма достойный внимания объект (это вышла прогуляться за кефиром настоящая блондинка Эвита Шубодёрова). Объект, по мнению приятелей, может находиться в одном из двух состояний - замужем, - не замужем. Согласно хрюпинской статистике априорные вероятности этих состояний ; . Наблюдения Сидорова и Петрова независимы. Обычно Сидоров принимает правильное решение о состоянии наблюдаемого объекта в 90% случаев и в 10% случаев ошибается, Петров ошибается в 20% случаев и делает верный вывод в 80% оставшихся. Итак, Сидоров решил, что Блондинка замужем, и Петров, что не замужем. Найти апостериорную вероятность того, что Эвита Шубодёрова в настоящий момент пребывает в состоянии .

Наступили новые времена, и Хрюпин украсился новым семиэтажным зданием торгового центра. Торговый центр (названный «Гранд Пассаж») был снабжён тремя лифтами и эскалаторами. В лифт на первом этаже вошли Иванов, Петров и Сидоров (они проводили выходной день перемещаясь между барами «ГП»). Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности событий:

- все трое выйдут на четвёртом этаже;

- все трое выйдут одновременно (на одном и том же этаже);

- Иванов, Петров и Сидоров выйдут на разных этажах.

Решение. Для решения задачи используется формула классической вероятности: . Общее число исходов . В первом случае . Во втором случае вероятность в 6 раз больше, чем в первом случае, поскольку пассажиры могут выйти на 6 этажах: . Для события число способов, которыми можно распределить трёх пассажиров по шести этажам: , следовательно .

Друзья звонят Сидорову с частотой 90 звонков в час. Дисциплинированный Сидоров разговаривает не дольше 2 минут. Найти показатели эффективности системы «Сидоров с телефоном».

Сидоров разыскивает нужный ему телефон в двух справочниках. Вероятность найти нужный телефон в первом справочнике – 0,6; во втором – 0,7. Какова вероятность обнаружить нужный телефон:

а. в одном справочнике;

б. хотя бы в одном справочнике;

в. в двух справочниках.

Решение. Обозначим , , , . В таблице 3 представлены события, составляющие множество и их вероятности, а также вероятности событий - ни в одном справочнике телефон не найден, - телефон найден в одном справочнике, - телефон найден в двух справочниках. Результаты расчётов поместим в таблицу (таблица 7):

Таблица 7.

Множество , Событие
0, 0 0,12 0,12
1, 0 0,18 0,46
0, 1 0,28
1, 1 0,42 0,42

По таблице 7 легко определить, что вероятность найти нужный телефон в одном справочнике равна 0,46. Вероятность найти нужный телефон хотя бы в одном справочнике (либо в одном, либо в двух – это событие противоположно событию «телефон не найден ни в одном из справочников») равна 1- 0,12 = 0,88. Вероятность найти нужный телефон в двух справочниках 0,42.

Воскресным днём Игнат Петров (игрок ) и Макар Сидоров (игрок ) играют в домино, чтобы пережить жару. Они продолжают свою игру до полного разорения одного из них. Капитал первого - рублей, капитал второго - рублей. Вероятность выигрыша каждой партии для игрока равна , а для игрока - , ничьи отсутствуют. В каждой партии выигрыш одного игрока (и проигрыш другого) равен 1 рублю. Найти вероятность разорения каждого из игроков. Результаты отдельных партий независимы.

Чтобы развлечь себя и жильцов окрестных домов Сидоров и Петров во время игры погромче включают катушечный магнитофон «Маяк», купленный в 1975 г. Отметим, что время безотказной работы этого «Маяка» распределено экспоненциально с параметром .

Решение задачи «о разорении игрока». Элементарный исход в задаче – бесконечная последовательность чередований результатов отдельных партий. Случайное событие – разорение игрока - состоит из всех элементарных событий, в которых игрок проигрывает свой капитал раньше, чем игрок . Каждое элементарное событие представляет собой счётную последовательность (состоящую, например, из букв ), поэтому в каждом элементарном событии, входящем в состав интересующего нас события (разорения ), после того как игра закончена разорением , ещё имеется счётное чередование и .

Обозначим - вероятность разорения игрока в течение партий если перед началом игры у него было рублей. Множество элементарных событий состоит из конечного числа элементов. Вероятность каждого элементарного события: , где - число появлений , - число появлений среди общего числа появлений и . Пусть и - вероятности соответственно проигрыша игрока и ничейного результата за партий.

С ростом числа и не убывают, а число не возрастает, то есть существуют пределы , , . Эти пределы и есть вероятности проигрыша , и ничьи, при условии, что в начальный момент имел рублей, а имел рублей.

Поскольку при любом : + + = 1, то в пределе . Очевидно, что:

- если игрок в начале имеет весь капитал, а игрок не имеет ничего, то (1);

- если весь капитал в начале игры имеет игрок , то (2).

Если игрок имел рублей перед некоторой партией, то его разорение может произойти двумя различными способами: или он очередную партию выиграет, а всю игру проиграет, или он проиграет и партию и игру. По формуле полной вероятности получим: . Относительно получится уравнение в конечных разностях:

Рассмотрим решение этого уравнения при . При таком допущении , где , поэтому . Так как и , то . Таким образом, вероятность разорения игрока составит . Аналогично можно найти, что в случае вероятность разорения игрока равна . Следовательно, при .

В общем случае при из уравнения находят:

После сокращения и с учётом соотношений (1), находим: . Рассмотрим разность . Очевидно, что .

Поскольку : . А так как : .

Исключив из двух последних равенств , находим: . Следовательно, вероятность разорения игрока составит: . Аналогично находим, что вероятность разорения игрока при равна: .

Две последние формулы показывают, что в общем случае вероятность ничейного результата равна 0: . Если капитал одного из игроков, например , намного больше капитала игрока (так, что можно считать его бесконечно большим, по сравнению с ), а игроки одинаково искусны, то разорение практически невозможно. Если играет лучше, чем , а , то при : . Следовательно, умелый игрок, даже с малым капиталом может иметь меньшую вероятность разорения, чем игрок с большим капиталом, но менее умелый.

Сидоров с друзьями, Семёном Макаровым и Игнатом Петровым отмечают на лавочке в кустах акации день ВМФ. Время от времени они поглядывают на дорогу, ведущую к дому Сидорова, чтобы своевременно заметить приближение его тёщи и успеть передислоцироваться на соседнюю улицу (где и продолжить мероприятие). Вероятность, что Макаров, Петров или Сидоров заметят приближение тёщи, составляет , и , соответственно. Какова вероятность того, что тёща подберётся к ним никем не замеченной, и на этом празднование закончится? Какова вероятность того, что тёщу заметят ровно два друга?

Макар Иванович Сидоров готовит сюрприз своей тёще на 8 марта. Поэтом, услышав шаги во дворе, он выглядывает в окно и осматривает окрестности. Он может заметить тёщу с вероятностью . Наблюдения Сидорова производятся независимо одно от другого. Какова вероятность того, что при осмотрах тёща будет обнаружена на подходе к дому?

Предположим, что сюрприз Сидоров готовит не один, а с друзьями. И каждый из собравшихся товарищей может обнаружить сидорову тёщу независимо друг от друга. За время каждый успевает осмотреть двор из окна раз. Найти вероятности событий:

- тёщу заметит хотя бы один из присутствующих;

- тёщу заметит каждый из собравшихся.

У Сидорова имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюёт с вероятностью , на втором месте – с вероятностью , на третьем – с вероятностью . Известно, что Сидоров, отправившись на рыбалку, три раза закинул удочку, и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу в первом месте.

Очевидно, на частоту клёва в разных местах влияет то обстоятельство, что на берегу реки построены три химических предприятия. Вероятность сброса отходов в реку каждым из этих предприятий соответственно составляет 0,6; 0,3 и 0,1. Известно, что 30% стоков первого предприятия, 45% стоков второго и 80% стоков третьего содержат ртуть. Если ПДК ртути в стоках превысила допустимые нормы, то какова вероятность, что отходы в реку сбросило первое (второе, третье) предприятие)?


Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 54 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Закон больших чисел 4 страница | Закон больших чисел 5 страница | Закон больших чисел 6 страница | Закон больших чисел 7 страница | Закон больших чисел 8 страница | Закон больших чисел 9 страница | Закон больших чисел 10 страница | Закон больших чисел 11 страница | Закон больших чисел 12 страница | Закон больших чисел 13 страница |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Закон больших чисел 14 страница| Закон больших чисел 16 страница

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.013 сек.)