Закон больших чисел 15 страница

Воспитание молодёжи

Чёрная кубанка с красным верхом иногда творила со своим хозяином странные штуки. Надев на голову этот чудный головной убор, Иван Васильевич чувствовал прилив мудрости и решительности. Он разгуливал по хрюпинским улицам и вершил скорый суд. Разглядев на лавочке болтающих школьниц в коротеньких маечках и мини юбках, он быстрым шагом направлялся к ним, чтобы усовестить бесстыдниц и разогнать по домам к родителям. Пару раз он лично умывал в городской колонке девушек, показавшихся ему особенно развязными. Но настоящей грозой он стал для мальчишек подростков. Заметив с их стороны непочтительность к старшим и «непотребное поведение» он без предупреждения раздавал тумаки и подзатыльники (такие весомые, что шапки слетали), припомнив полученные в армии уроки рукопашного боя. По результатам этой энергичной воспитательной работы Иван Васильевич в соавторстве с Порфирием Собакиным написал статью о «духовной гигиене Отечества в период кризиса» для журнала «Воспитание школьников». Матёрые педагоги сообщали, что их работа «предпринята с целью разъяснить необходимость срочных и энергичных мер духовной гигиены в стране, где глубоко пустило корни духовно-нравственное растление нации». Статья вызвала настоящий шквал откликов и комментариев и, подчиняясь «требованию общества» Иван Васильевич издал книгу воспоминаний «Былое и Думы» (сначала он хотел назвать книгу «Что делать?», потом «Кто виноват?», но остановился на первоначальном варианте). Придуманные в муках названия казалось старому Сидорову смутно знакомым со школьных времён, и поразмыслив, он решил соригинальничать. На обложке появилось «Былое и Думы … итоги долгой жизни». В Хрюпине и окрестностях книга стала бестселлером. Школьники изучали её на уроках литературы и конспектировали в своих тетрадках, как пример патриотического чувства красочный рассказ о посещении Иваном Васильевичем Кремля. Усердные хрюпинские школяры переписывали и заучивали наизусть вот какой текст: «Прошло уже много лет с тех пор, как я с товарищами-казаками посетил Москву. Поздним воскресным вечером пришли мы в Кремль. Но нам не повезло - Кремль был закрыт для посещения. Удалось всё же пробраться в Оружейную палату и осмотреть Шлем Великого Князя Ярослава, Скипетр и Державу, посидеть в рабочем кресле Иоанна Грозного. Созерцание вещей славных российских императоров разбудило во мне благостное чувство сопричастности к нашему Отечеству. Но на выходе из Оружейной палаты мы встретились с группой рослых и нарядных юношей. Это были московские школьники. Стоило им выйти за ворота палаты, как они закурили и принялись громко сквернословить. Как мало уважения осталось в столичной молодёжи к нашим святыням. Они не постеснялись ни нас, ни кремлёвской охраны! Мы с товарищами не успели даже сделать вид, что ничего не услышали. На моей же голове и вовсе была надета старая кубанка из чёрного потрёпанного каракуля с красным верхом, поэтому неожиданно для себя матерщинники получили пинки и тумаки, от которых изо рта у них вылетели сигареты. Мы с друзьями коротко и негромко разъяснили юношам всю душевредность сквернословия и душеполезность службы в казачьих войсках. Кремлёвская охрана таинственно улыбалась, направив взгляды вдаль, сдержанно и достойно выражая свою радость в рамках приличия и устава. И сколько бы раз я ни пресекал сквернословие, никто на меня не обижался. А, встречаясь со мною снова, эти замечательные, добрые и талантливые юноши первыми здороваются, низко кланяются и радостно, с шутками и улыбками, напоминают обстоятельства нашего знакомства».

Труды и забавы возмужавшего Сидорова

По выходным Сидоров прыгал с парашютом. Он залезал на верхушку силосной башни и сигал оттуда с парашютом, заранее сшитым Натальей Александровной. Парашютов у Сидорова было 4, причём раскрывались они с вероятностью 0,75 каждый. После прыжков Сидоров собирал вещи и шёл обедать. Составить закон распределения случайной величины X – числа прыжков, совершённых Сидоровым за один выходной.

Решение. Составим закон распределения случайной величины - числа прыжков, совершённых Макаром Сидоровым. Результаты вычислений представлены в таблице (табл.6):

Таблица 6.

Значения
Значения
Вероятности
0,2500	0,1875	0,1406	0,4219

Многоугольник распределения случайной величины представлен на рис.20

	Наиболее вероятное число совершённых прыжков составит: - дисперсия случайной величины - среднеквадратическое отклонение случайной величины .
Рисунок 20. Многоугольник распределения случайной величины

Старинные приятели Иванов, Петров и Макар Сидоров борются с птичьим гриппом. Для этого они выходят на балкон рано утром и ровно в 5.00. независимо друг от друга делают залп по деревьям, на которых свила гнёзда стая ворон. Иванов поражает цель с вероятностью 0,2; Петров – 0,4; Сидоров – 0,05. Какова вероятность, что ни одна ворона не пострадала?

Макар Сидоров и его друг Игнат Петров сидят воскресным днём на лавочке и разглядывают проходящих женщин. Чтобы придать занятию смысл, они гадают по выражению их лиц замужем те или нет. Наконец, в поле их зрения появляется весьма достойный внимания объект (это вышла прогуляться за кефиром настоящая блондинка Эвита Шубодёрова). Объект, по мнению приятелей, может находиться в одном из двух состояний - замужем, - не замужем. Согласно хрюпинской статистике априорные вероятности этих состояний ; . Наблюдения Сидорова и Петрова независимы. Обычно Сидоров принимает правильное решение о состоянии наблюдаемого объекта в 90% случаев и в 10% случаев ошибается, Петров ошибается в 20% случаев и делает верный вывод в 80% оставшихся. Итак, Сидоров решил, что Блондинка замужем, и Петров, что не замужем. Найти апостериорную вероятность того, что Эвита Шубодёрова в настоящий момент пребывает в состоянии .

Наступили новые времена, и Хрюпин украсился новым семиэтажным зданием торгового центра. Торговый центр (названный «Гранд Пассаж») был снабжён тремя лифтами и эскалаторами. В лифт на первом этаже вошли Иванов, Петров и Сидоров (они проводили выходной день перемещаясь между барами «ГП»). Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности событий:

- все трое выйдут на четвёртом этаже;

- все трое выйдут одновременно (на одном и том же этаже);

- Иванов, Петров и Сидоров выйдут на разных этажах.

Решение. Для решения задачи используется формула классической вероятности: . Общее число исходов . В первом случае . Во втором случае вероятность в 6 раз больше, чем в первом случае, поскольку пассажиры могут выйти на 6 этажах: . Для события число способов, которыми можно распределить трёх пассажиров по шести этажам: , следовательно .

Друзья звонят Сидорову с частотой 90 звонков в час. Дисциплинированный Сидоров разговаривает не дольше 2 минут. Найти показатели эффективности системы «Сидоров с телефоном».

Сидоров разыскивает нужный ему телефон в двух справочниках. Вероятность найти нужный телефон в первом справочнике – 0,6; во втором – 0,7. Какова вероятность обнаружить нужный телефон:

а. в одном справочнике;

б. хотя бы в одном справочнике;

в. в двух справочниках.

Решение. Обозначим , , , . В таблице 3 представлены события, составляющие множество и их вероятности, а также вероятности событий - ни в одном справочнике телефон не найден, - телефон найден в одном справочнике, - телефон найден в двух справочниках. Результаты расчётов поместим в таблицу (таблица 7):

Таблица 7.

Множество	,	Событие
	0, 0		0,12		0,12
	1, 0		0,18		0,46
	0, 1		0,28
	1, 1		0,42		0,42

По таблице 7 легко определить, что вероятность найти нужный телефон в одном справочнике равна 0,46. Вероятность найти нужный телефон хотя бы в одном справочнике (либо в одном, либо в двух – это событие противоположно событию «телефон не найден ни в одном из справочников») равна 1- 0,12 = 0,88. Вероятность найти нужный телефон в двух справочниках 0,42.

Воскресным днём Игнат Петров (игрок ) и Макар Сидоров (игрок ) играют в домино, чтобы пережить жару. Они продолжают свою игру до полного разорения одного из них. Капитал первого - рублей, капитал второго - рублей. Вероятность выигрыша каждой партии для игрока равна , а для игрока - , ничьи отсутствуют. В каждой партии выигрыш одного игрока (и проигрыш другого) равен 1 рублю. Найти вероятность разорения каждого из игроков. Результаты отдельных партий независимы.

Чтобы развлечь себя и жильцов окрестных домов Сидоров и Петров во время игры погромче включают катушечный магнитофон «Маяк», купленный в 1975 г. Отметим, что время безотказной работы этого «Маяка» распределено экспоненциально с параметром .

Решение задачи «о разорении игрока». Элементарный исход в задаче – бесконечная последовательность чередований результатов отдельных партий. Случайное событие – разорение игрока - состоит из всех элементарных событий, в которых игрок проигрывает свой капитал раньше, чем игрок . Каждое элементарное событие представляет собой счётную последовательность (состоящую, например, из букв ), поэтому в каждом элементарном событии, входящем в состав интересующего нас события (разорения ), после того как игра закончена разорением , ещё имеется счётное чередование и .

Обозначим - вероятность разорения игрока в течение партий если перед началом игры у него было рублей. Множество элементарных событий состоит из конечного числа элементов. Вероятность каждого элементарного события: , где - число появлений , - число появлений среди общего числа появлений и . Пусть и - вероятности соответственно проигрыша игрока и ничейного результата за партий.

С ростом числа и не убывают, а число не возрастает, то есть существуют пределы , , . Эти пределы и есть вероятности проигрыша , и ничьи, при условии, что в начальный момент имел рублей, а имел рублей.

Поскольку при любом : + + = 1, то в пределе . Очевидно, что:

- если игрок в начале имеет весь капитал, а игрок не имеет ничего, то (1);

- если весь капитал в начале игры имеет игрок , то (2).

Если игрок имел рублей перед некоторой партией, то его разорение может произойти двумя различными способами: или он очередную партию выиграет, а всю игру проиграет, или он проиграет и партию и игру. По формуле полной вероятности получим: . Относительно получится уравнение в конечных разностях:

Рассмотрим решение этого уравнения при . При таком допущении , где , поэтому . Так как и , то . Таким образом, вероятность разорения игрока составит . Аналогично можно найти, что в случае вероятность разорения игрока равна . Следовательно, при .

В общем случае при из уравнения находят:

После сокращения и с учётом соотношений (1), находим: . Рассмотрим разность . Очевидно, что .

Поскольку : . А так как : .

Исключив из двух последних равенств , находим: . Следовательно, вероятность разорения игрока составит: . Аналогично находим, что вероятность разорения игрока при равна: .

Две последние формулы показывают, что в общем случае вероятность ничейного результата равна 0: . Если капитал одного из игроков, например , намного больше капитала игрока (так, что можно считать его бесконечно большим, по сравнению с ), а игроки одинаково искусны, то разорение практически невозможно. Если играет лучше, чем , а , то при : . Следовательно, умелый игрок, даже с малым капиталом может иметь меньшую вероятность разорения, чем игрок с большим капиталом, но менее умелый.

Сидоров с друзьями, Семёном Макаровым и Игнатом Петровым отмечают на лавочке в кустах акации день ВМФ. Время от времени они поглядывают на дорогу, ведущую к дому Сидорова, чтобы своевременно заметить приближение его тёщи и успеть передислоцироваться на соседнюю улицу (где и продолжить мероприятие). Вероятность, что Макаров, Петров или Сидоров заметят приближение тёщи, составляет , и , соответственно. Какова вероятность того, что тёща подберётся к ним никем не замеченной, и на этом празднование закончится? Какова вероятность того, что тёщу заметят ровно два друга?

Макар Иванович Сидоров готовит сюрприз своей тёще на 8 марта. Поэтом, услышав шаги во дворе, он выглядывает в окно и осматривает окрестности. Он может заметить тёщу с вероятностью . Наблюдения Сидорова производятся независимо одно от другого. Какова вероятность того, что при осмотрах тёща будет обнаружена на подходе к дому?

Предположим, что сюрприз Сидоров готовит не один, а с друзьями. И каждый из собравшихся товарищей может обнаружить сидорову тёщу независимо друг от друга. За время каждый успевает осмотреть двор из окна раз. Найти вероятности событий:

- тёщу заметит хотя бы один из присутствующих;

- тёщу заметит каждый из собравшихся.

У Сидорова имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюёт с вероятностью , на втором месте – с вероятностью , на третьем – с вероятностью . Известно, что Сидоров, отправившись на рыбалку, три раза закинул удочку, и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу в первом месте.

Очевидно, на частоту клёва в разных местах влияет то обстоятельство, что на берегу реки построены три химических предприятия. Вероятность сброса отходов в реку каждым из этих предприятий соответственно составляет 0,6; 0,3 и 0,1. Известно, что 30% стоков первого предприятия, 45% стоков второго и 80% стоков третьего содержат ртуть. Если ПДК ртути в стоках превысила допустимые нормы, то какова вероятность, что отходы в реку сбросило первое (второе, третье) предприятие)?

Дата добавления: 2015-08-05