Порядок выполнения работы. Дифференцирование и интегрирование

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ

I. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ

Пусть функция f(x) определена на промежутке (а, b), точка x₀ произвольная точка из области определения функции[1]. Обозначим через ∆ f (x₀) = f(x₀ + ∆x)- f(x₀) приращение функциив точке x₀, вызванное приращением ∆x независимой переменной х. Производной функции f(x) в точке x = x₀, при x₀ (a,b), называется предел отношения приращения функции ∆ f (x₀) к приращению ∆x при стремлении ∆x к нулю, т.е.

.

Здесь f (x₀) производная функции в точке x₀ (a, b).

Порядок выполнения работы

1). Найдите по определению производную функции

f (x)= .

Вычислите значение производной в точке x = 0. Поскольку f (0) = 0, то приращение функции ∆ f (x) в точке х = 0 равно ∆ f (0) = f (0 + ∆x) - f (0) = f (∆x) - f (0) = f (∆x).

Указание:

1. Установите режим автоматических вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.

2. Определите функцию.

3. Определите приращение функции в указанной точке.

4.Вычислите предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащего необходимые вычисления, приведен ниже.

Значение функции при x, отличном от нуля

Производная функции f (x) в точке х =0 существует и равна 4.

f (x)=4

2) Вычислите производную аналитически.

Рис. 1. Символьное дифференцирование

Указание. Символ приращения ∆ выберите в панели греческого алфавита. Предел вычисляется средствами символьной математики пакета. Для того чтобы вычислить производную с использованием меню символьных операций, введите выражение дифференцируемой функции, выделите переменную х и щелкните по строке Differentiate в строке Variable меню Symbolics (рис. 1.). Можно поступить по-другому. Щелкнув по кнопке , разверните панель инструментов Calculus, щелкните в ней по кнопке дифференцирования , введите имя функции и переменной в помеченных позициях, выделите выражение и нажмите на клавиатуре комбинацию клавиш <Shift>+<F9> (рис.2.).

Рис. 2. Дифференцирование с использованием панели Calculus

Дата добавления: 2015-07-20