Непрерывные марковские модели боевых действий

Используемое при построении дискретных марковских моделей допущение о том, что все сохранившиеся боевые единицы производят выстрелы в строго определенной последовательности, не всегда приемлемо, поскольку моменты проведения боевыми единицами выстрелов являются на самом деле случайными.

Представим последовательность выстрелов, производимых каждой участвующей в бою единицей, в виде пуассоновского потока событий. Далее осуществим переход к потоку «успешных выстрелов», который также будем считать пуассоновским. Тогда протекание боя опишется непрерывным марковским процессом с дискретным числом состояний. По-прежнему будем полагать, что результаты стрельбы наблюдаются и стрельба ведется только по уцелевшим боевым единицам.

Рассмотрим дуэльный бой двух единиц, по-прежнему обозначив их х и у. В начале боя исследуемая система находится в состоянии (1:1). А поскольку вероятность одновременного появления двух и более событий (при исследовании динамики боя это есть вероятность одновременного поражения двух и более единиц) является бесконечно малой величиной, то вероятность полного уничтожения обеих сторон равна нулю. Таким образом, при построении непрерывных марковских моделей боя состояние (0:0) является невозможным, поэтому рассматриваться в данной главе не будет. Для дуэльного боя двух единиц возможными являются состояния (1:1), (1:0) и (0:1), причем два последних являются устойчивыми.

Пусть t₀ соответствует моменту начала боя. Очевидно, что F₁₁(0)=1, F₀₁(0)=F₁₀(0)=0. По истечении определенного времени система перейдет в состояние (1:0) или в состояние (0:1).

Условная вероятность перехода системы из состояния (1:1) в состояние (0:1) в интервале времени [ t; t+Dt ] при условии, что в момент времени она находилась в состоянии (1:1), равна

Р(1:1®0:1)=Р_у l_у Dt+0(Dt),

где l_у – средняя скорострельность второй боевой единицы в течение промежутка времени [t; t+Dt].

Аналогично определится условная вероятность перехода системы из состояния (1:1) в состояние (1:0) в интервале времени (t; t+Dt):

Р(1:1®0:1)=Р_х l_х Dt+0(Dt),

где l_х – средняя скорострельность первой единицы в течение промежутка времени [t; t+Dt].

Величины u=P_yl_y и v=P_xl_x назовем эффективными скорострельностями боевых единиц сторон.

Тогда можно записать систему разностных уравнений, описывающую дуэльный бой двух единиц:

(3.1)

Используя очевидное равенство

систему уравнений 3.1 можно записать в следующем виде:

(3.2)

Данная система разностных уравнений 3.2 при преобразуется в следующую систему дифференциальных уравнений:

(3.3)

Пусть обе воюющие единицы открывают огонь по противнику одновременно. Тогда, решая систему уравнений 3.3 с начальными условиями

F₁₁(0)=1, F₀₁(0)=F₁₀(0)=0,

можно получить зависимости для определения вероятностей состояний системы в каждый момент времени протекания боя:

Наиболее простой вид решения система принимает при постоянных эффективных скорострельностях боевых единиц:

Вероятности окончательных состояний (при t ® ∞) следующие:

Можно найти значения основных показателей боя, определенных в конце предыдущей главы, полагая (1₀)-(1₀)х₀=у₀=1:

а также среднюю продолжительность протекания боя Т_б

причем формула справедлива для любых начальных численностей противоборствующих группировок. Для дуэльного боя

Величины и определим из следующих соображений. В достаточно малом интервале времени расход боеприпасов единицей x равен произведению вероятности того, что бой к моменту времени еще не закончен , на величину практической скорострельности единицы х в момент времени и продолжительность интервала времени Dt, т.е.

Переходя к пределу при Dt®0 и суммируя, получаем:

Аналогично для единицы у имеем

Переходя к пределу при t→∞, определим значения Б_х и Б_у.

Отметим, что при рассмотрении одного дуэльного боя математические ожидания числа сохранившихся единиц сторон не имеют практического смысла. Однако при анализе реальных боевых действий, когда возникает необходимость исследовать бой многочисленных группировок или большое количество дуэльных боев, величины M_x(t) и M_y(t), а также M_x( ∞ ) и M_y ( ∞ ) являются одними из важнейших показателей боя, характеризующих возможность выполнения группировкой поставленной перед ней боевой задачи.

При постоянных эффективных скорострельностях боевых единиц имеем:

Дата добавления: 2015-07-20