Модели динамики средних

Наиболее простыми и хорошо исследованными моделями двухсторонних боевых действий являются детерминированные модели, основу которых составляет метод динамики средних. Построение моделей этого типа основано на допущении о возможности замены численности фактически сохранившихся боевых единиц сторон в каждый момент протекания боя их средними значениями (математическими ожиданиями), что дает возможность отказаться от рассмотрения подробностей, связанных с состоянием отдельно взятой боевой единицы, и рассматривать процесс боевых действий как детерминированный, хотя он является на самом деле случайным. Однако это допущение метода динамики средних приводит в ряде случаев к грубым ошибкам. Метод подробно рассмотрен в [10].

Одними из наиболее распространенных моделей являются модели боевых действий, построенные на основе марковских процессов. Учитывая стохастический характер процесса боевых действий, модели данного типа позволяют описать его с достаточной степенью точности и полноты. Отметим, что случайный процесс, протекающий в некоторой системе, называется марковским, если для каждого момента времени t₀ вероятность любого состояния этой системы в будущем (при t>t₀) зависит только от состояния системы в настоящий момент (при t=t₀) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние. Другими словами, в марковском случайном процессе его будущее развитие зависит только от его настоящего состояния и не зависит от «предыстории» процесса.

Введем некоторые понятия теории вероятностей, которые потребуются в дальнейшем.

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то, вообще говоря, случайные моменты времени. Так, например, последовательность выстрелов, осуществляемых каждой участвующей в бою единицей, представляет собой поток событий. Если в последовательности выстрелов, осуществляемых конкретно взятой боевой единицей, выделить последовательность выстрелов, которые поражают какую-либо цель противника, то она также представляет собой поток событий, который в дальнейшем будем называть «потоком успешных выстрелов».

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные моменты времени. Однако на практике чаще приходится встречаться с потоками событий, для которых моменты наступления событий и промежутки времени между ними являются случайными.

Поток событий называется одинарным, если вероятность попадания на элементарный (достаточно малый) участок времени двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на этот участок одного события.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один участок, не зависит от того, сколько событий попало на другие.

Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной Dt зависит только от длины этого участка и не зависит от того, где именно на оси времени 0t расположен этот участок.

Поток событий, обладающий свойствами одинарности и отсутствия последействия, называется пуассоновским.

Поток событий, обладающий свойствами стационарности, одинарности и отсутствия последействия, называется простейшим.

Интенсивностью потока событий в момент времени t называется предел отношения среднего числа событий Dn (t; Dt), попадающих на элементарный участок времени [ t; t+Dt ] при стремлении длины этого участка к нулю, т.е.

Отметим, что интенсивность стационарного потока есть величина, не зависящая от времени. Простейший поток событий можно трактовать как пуассоновский поток событий с постоянной интенсивностью.

Поток выстрелов, производимых каждой участвующей в бою единицей, а также «поток успешных выстрелов», можно считать пуассоновским. Действительно, боевая единица не может произвести в бесконечно малый промежуток времени более одного выстрела, залпа и т.д. Если предположить, что одним выстрелом боевая единица может поразить не более одной единицы противника, то «поток успешных выстрелов» также будет ординарным. Как правило, рассматриваемые потоки выстрелов обладают также свойством отсутствия последействия. Интенсивностью «потока успешных выстрелов» боевой единицы является ее эффективная скорострельность. При постоянной эффективной скорострельности боевой единицы ее «поток успешных выстрелов» является простейшим.

Иногда потоки выстрелов каждой участвующей в бою единицы можно считать регулярными без сколь существенной погрешности. Так, например, если вертолет ведет огонь по противнику с подскока с последующей сменной позиции, то возможность поражения вертолетов и целей противника в интервалах между подскоками пренебрежимо мала.

Марковский процесс называется дискретным, если моменты перехода системы из состояния в состояние происходят только в строго определенные моменты времени, то есть потоки событий, переводящих систему из состояния в состояние, являются регулярными. Марковский процесс называется непрерывным, если потоки событий, переводящих систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими.

Дата добавления: 2015-07-20