Дискретные марковские модели боевых действий

Рассмотрим дуэльный бой двух единиц, который происходит следующим образом. Сначала первая единица (х) производит выстрел по второй (у), после чего единица у (если она не поражена) производит выстрел по первой и т.д. Вероятность поражения первой единицы одним выстрелом второй обозначим Р_у, вероятность поражения второй одним выстрелом первой - Р_х. Бой заканчивается, когда одна из противоборствующих единиц будет поражена.

Совокупность боевых единиц назовем системой. Эта система описывается марковским процессом, состояниями ее являются двумерные точки

{(p:q)/p; q=0; 1}.

Точку (p:q) можно интерпретировать как сложное событие, означающее следующее:

- при p=0, q=1 единица х уничтожена, а единица у не уничтожена;

- при h=1, q=0 единица х не уничтожена, а единица у уничтожена;

- при p=q=1 обе единицы не уничтожены, т.е. бой продолжается.

Точка p=q=0 не является состоянием рассматриваемой системы, т.к. выстрелы производятся последовательно, вследствие чего невозможно одновременное поражение обеих боевых единиц.

В начале боя рассматриваемая система находится в состоянии (1:1).

После выстрела единицы х невозможно сохранение состояния (1:1) (промах) или переход в состояние (1:0) (поражающий выстрел). Вероятности этих переходов следующие:

Р(1:1®1:1)=1-Р_х;

Р(1:1®1:0)=Р_х.

После ответного выстрела единицы у система из состояния (1:1) может перейти в состояние (0:1) или остаться в состоянии (1:1). Из состояния (0:1) система не может перейти ни в какое другое состояние, т.к. единица у уничтожена, т.е. бой окончен. Такое состояние системы назовем устойчивым. Для рассматриваемой системы устойчивыми являются состояния (0:1) и (1:0).

Положим вероятности Р_х и Р_у в течение всего боя постоянными. Обозначим через F_ij(t) вероятность того, что в момент времени t сохранились i единиц стороны x и j единиц стороны у, т.е. система находится в состоянии i=j. Тогда во введенных обозначениях после первого выстрела единицы х вероятности состояний системы будут вычисляться следующим образом:

F₀₁=0;

F₁₀=F_x;

F₁₁=1-P_x.

После ответного выстрела единицы второй стороны (если она не поражена) имеем:

F₀₁=P_y(1-P_x);

F₁₀=P_x;

F₁₁=(1-P_x)(1-P_y).

После второго выстрела единицы первой стороны:

F₀₁=P_y(1-P_x);

F₁₀=P_x[1+(1-P_x)(1-P_y)];

F₁₁=(1-P_x)²(1-P_y).

После второго выстрела единицы второй стороны:

F₀₁=P_y(1-P_x)[1+(1-P_x)(1-P_y)];

F₁₀=P_x[1+(1-P_x)(1-P_y)];

F₁₁=(1-P_x)²(1-P_y)².

Продолжая рассмотрение этого процесса далее, получаем, что после проведения каждой единицей по n выстрелов вероятности состояний системы принимают следующий вид:

В пределе (при ) получаем вероятности окончательных состояний системы:

;

.

Для случая, когда первый выстрел производит боевая единица второй стороны, имеем:

.

Аналогичные зависимости могут быть получены для произвольного числа единиц каждой стороны.

Дата добавления: 2015-07-20