Параметры сетевой модели с учетом временных характеристик

Одна из основных задач управления состоит в составлении плана выполнения комплекса работ. Параметрами плана, определяемыми с помощью сетевой модели, являются лишь временные характеристики: моменты начала и окончания каждой работы и всего комплекса работ. Их называют параметрами сетевой модели.

Важнейшим параметром является критическое время T _кр - минимальное время, за которое может быть выполнен весь комплекс. Критическому времени соответствует критический путь L _кр, т.е. полный путь, продолжительность которого и составляет критическое время: t (L _кр)= T _{к р} . Очевидно, что продолжительность любого другого полного пути равна или меньше критического времени T _кр , поэтому критический путь можно определить как путь, имеющий максимальную продолжительность.

Работы, лежащие на критическом пути, называются критическими работами. Именно они определяют время выполнения комплекса в целом, поэтому ход их выполнения имеет особую важность при управлении выполнением всего комплекса.

В плане выполнения всего комплекса, естественно, должны быть определены моменты наступления всех событий, начала и окончания всех работ. Как правило, эти моменты устанавливаются не однозначно, а располагаются в некотором диапазоне. При анализе сетевой модели определяются параметры, ограничивающие эти диапазоны. Такими параметрами для каждого k -го события являются ранний срок наступления события T_k ^(р) и поздний срок наступления события T_k ^(п). Используя эти параметры, можно вычислить и другие параметры, в том числе критическое время T _кр и критический путь L _кр, на основании которых составляется план выполне­ния комплекса. Поэтому начнем с рассмотрения параметров T_k ^(р) и T_k ^(п).

На рисунке 1.2 изображена сетевая модель, используемая далее для расчета параметров сетевых моделей [13].

Ранний срок наступления события T_k ^{(р )} - это самый ранний из возможных моментов наступления данного k-го события, и определяется он временем, необходимым для выполнения всех предшествующих ему работ.

T_k ^(р) определяется как продолжительность максимального из путей, ведущих от основного события к k - му:

T_k ^(р) = t [ L _max (0¸ k)], (1.5)

где путем обозначен номер исходного события.

Например, к событию 7 (рис.1.2) ведут три пути: 0-1-3-6-7, продолжительность которого равна 105 ед. времени; 0-1-2-5-7 с продолжительностью 60 ед. и 0-2-5-7 с продолжительностью 85 ед. Очевидно, что событие 7 может наступить не раньше чем через 105 ед. времени после исходного события, поэтому =105 ед.

Напишем формулу для вычисления . Обозначим через множество дуг (i,j), входящих в j-ю вершину (событие), и допустим, что все значения T_i^(р) для i-х событий, которыми начинается каждая из этих дуг (работ), нами уже вычислены. Тогда на основании формулы (1.5) можем написать:

(1.6)

где номер завершающего события, причем

Вычисляя с помощью (1.6) значения T_j ^(р), найдем для нашей сетевой модели:

..........................

Вычислив все значения T_j ^(р),получим T ₁₀^(р) =305. Ранний срок наступления завершающего события определяет продолжительность критического пути:

(1.7)

Поздний срок наступления события T_k ^{(п )} - это самый поздний из допустимых моментов наступления данного k -го события, при котором еще возможно выполнение всех последующих работ без превышения критического времени.

Значение T_k ^(п) определяется как разность между критическим временем и продолжительностью максимального пути, ведущего от данного события к завершающему:

(1.8)

Например, от события 6 (рис.1.2) к завершающему событию ведут два пути: 6-7-8-9-10 с продолжительностью 195 ед. и 6-8-9-10, продолжительность которого равна 200 ед. Согласно формуле (1.8):

Очевидно, что если событие 6 наступит в момент > (т.е. позднее ), а на выполнение работ, составляющих путь 6-8-9-10, требуется 200 ед., то в результате завершающее событие наступит в момент, превышающий T _кp настолько, насколько больше . Действительно, вычислим поздний срок наступления события 6 как разность между T _кр и продолжительностью первого пути:

= T _кр - 195 = 305 - 195 = 110 ед.

С этого момента требуется еще 200 ед. времени на выполнение работ второго пути, следовательно, завершающее событие наступит через 110+200=310 ед. после начала работ, т.е. T _кр будет превышено на 5 ед.

Правило вычисления значения T_k ^(п) по выражению (1.8) можно сформулировать более полно следующим образом: если от данного k -го события к завершающему ведут несколько путей, то значение T_k ^(п) определяется как разность между критическим временем и продолжительностью максимального пути или, что то же самое, как минимальная из разностей между критическим временем и продолжительностью каждого из путей.

Из сформулированных понятий раннего и позднего сроков наступления событий следует, что для завершающего события

(1.9)

Напишем формулу для вычисления T_k ^(п).Обозначим через V_i множество дуг (i,j), выходящих из i -й вершины, и допустим, что все значения T_j ^(п) для j -х событий, которыми заканчивается каждая из дуг, уже вычислены. Тогда на основании формул (1.8) и (1.9) запишем:

(1.10)

где

Вычисляя с помощью формулы (1.10) значения T_i ^(п)(вычисления ведутся последовательно от завершающего события к исходному), получим:

^{......................}

Зная ранние и поздние сроки наступления событий, можно вычислить для каждой работы (i, j):

- ранний срок начала

- ранний срок окончания

- поздний срок начала

- поздний срок окончания

Ранний срок начала работы совпадает с ранним сроком наступления начального события этой работы, а ранний срок окончания превышает его на величину продолжительности работы (i, j):

(1.11)

(1.12)

Поздний срок окончания работы совпадает с поздним сроком наступления ее конечного события, а поздний срок начала - меньше на t_ij.

(1.13)

(1.14)

Важными параметрами сетевой модели являются резервы времени событий и работ.

Резерв времени событий R - это такой промежуток времени, в пределах которого может меняться момент наступления события без превышения критического времени.

R_k = T_k ^(п) - T_k ^(р), (1.15)

где k - номер события.

Исходное, завершающее событие, а также все события, лежащие на критическом пути, резервами времени не располагают. Отсюда простой способ нахождения критического пути: определить события, не имеющие резерва времени, через них и пройдет критический путь.

Для работ можно рассматривать различные виды резервов:

- полный резерв (1.16)

представляющий максимальное время, на которое можно отсрочить начало или увеличить продолжительность работы (i, j), не изменяя срок наступления завершающего события;

- свободный резерв (1.17)

представляющий собой максимальное время, на которое можно отсрочить начало или увеличить продолжительность работы, не изменяя при этом ранние сроки наступления всех следующих событий.

Полный резерв времени работы принадлежит всему пути, на котором эта работа лежит. Если этот резерв использовать полностью для увеличения длительности данной работы или какой-либо другой работы данного пути, то остальные работы пути останутся без резервов.

Работа может принадлежать нескольким путям одновременно. Полный резерв времени этой работы принадлежит не только ей, а всем работам, лежащим на проходящих через нее путях. При использовании этого резерва целиком для одной работы резервы времени остальных работ, лежащих на пути максимальной продолжительности, будут полностью исчерпаны, а резервы времени работ на других путях соответственно сократятся.

Работы, у которых полный резерв отличается от полного резерва критических работ (т.е. от ) не более чем на заданную величину d, называются подкритическими. При небольших отклонениях в сроках выполнения подкритические работы становятся критическими, поэтому при управлении комплексом нужно наряду с критическими уделять особое внимание и подкритическим работам.

Множество всех критических и подкритических работ называют критической зоной комплекса.

Дата добавления: 2015-07-20