Условный экстремум при ограничениях типа неравенств

В этом случае утверждения, 2.1.1 - 2.1.4 принимают следующую редакцию, соответственно:

2.3.1. Пусть X *Î R ^п - точка локального минимума (максимума) функции f (X) на множестве М ={ X | j_i (X)£0, i =1, 2, …, m }. Тогда существуют числа , , …, , не равные одновременно нулю и такие, что выполняются условия:

условия стационарности обобщённой функции Лагранжа по X:

=0, j =1, 2, …, n; (2.3.1.a)

условие допустимости решения:

j_i (X *)£0, i =1, 2, …, n; (2.3.1.б)

условие неотрицательности для условного минимума:

³0, i =1, 2, …, n; (2.3.1.в)

(условие неположительности для условного максимума £0, i =1, 2, …, n)

условие дополняющей нежёсткости:

j_i (X *)=0, i =1, 2, …, n; (2.3.1.г)

Если при этом градиенты Ñ j ₁(X *), Ñ j ₂(X *), …, Ñ j_m (X *) в точке X * линейно независимы, то ≠0 (условие регулярности).

2.3.2. Пусть X *Î R ^п - регулярная точка локального минимума (максимума) функции f (X) на множестве М и имеется решение (X *, L ^*) системы (2.3.1). Тогда второй дифференциал классической функции Лагранжа, вычисленный в точке (X *, L ^*), неотрицателен (неположителен):

d ² L (X *, L ^*)³0 (d ² L (X *, L ^*)£0)

для всех таких dx Î R ^п, что

(2.3.2)

2.3.3. Пусть (X *, L ^*) - точка, удовлетворяющая системе (2.3.1) при ≠0, число активных ограничений X * совпадает с числом n переменных. Если >0 для всех i Î I_a, то точка X * - точка условного локального минимума. Если <0 для всех i Î I_a, то X * - точка условного локального максимума.

2.3.4. Пусть (X *, L ^*) - точка, которая является решением системы (2.3.1) при ≠0. Если в этой точке дифференциал классической функции Лагранжа, положителен (отрицателен)

d ² L (X *, L ^*)>0 (d ² L (X *, L ^*)<0)

для всех таких dx Î R ^п, что

dj_i (X *)=0, i Î I_a, >0 ( <0);

dj_i (X *)£0, i Î I_a, =0,

то точка X * является точкой локального минимума (максимума) задачи.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию на условный экстремум, достаточно:

1. Составить обобщённую функцию Лагранжа:

L (X, l ₀, L)= l ₀ f (X)+

2. Составить систему:

(2.3.1)

3. Решить систему (2.3.1) для двух случаев:

а) l ₀=0;

б) l ₀=1.

В результате находятся условно-стационарные точки X *.

4. Для условно стационарных точек X *, полученных в пункте 3, проверить достаточные условия экстремума. Для этого:

1) определить число l активных в точке X * ограничений;

2) если l = n и >0 для всех i Î I_a, то в точке X * - локальный минимум. Если l = n и <0 для всех i Î I_a, то в точке X * - локальный максимум. Если l < n или соответствующие множители Лагранжа не удовлетворяют достаточным условиям первого порядка, то проверить достаточные условия второго порядка. Для этого:

1) записать выражение для второго дифференциала классической функции Лагранжа в точке (X *, L ^*):

d ² L (X *, L ^*)= ;

2) записать условия, накладываемые на первые дифференциалы активных ограничений:

(2.3.2)

3) исследовать знак второго дифференциала функции Лагранжа для ненулевых dx, удовлетворяемых системе (2.3.2). Если d ² L (X *, L ^*)>0, то в точке X * - условный локальный минимум. Если d ² L (X *, L ^*)<0, то в точке X * - условный локальный максимум.

Если достаточные условия первого и второго порядка не выполняются, то проверяется выполнение необходимых условий второго порядка. Если они не выполняются, то в точке X * нет условного экстремума, а если выполняются, то требуется дополнительное исследование.

5. Вычислить значения функции в точках условного экстремума.

Пример I. Исследовать на условный экстремум функцию:

f (X)= x ₁+ x ₂®extr

.

Решение. В нашем случае j ₁(Х)= j (Х)=

1. Составим обобщённую функцию Лагранжа:

L (X, l ₀, L)= l ₀(x ₁+ x ₂)+ l ₁().

2. Составим систему (2.3.1). Имеем = l ₀+2 l ₁ x ₁, = l ₀+2 l ₁ x ₂. Поэтому

(2.2.4)

3. Решаем систему для двух случаев:

а) l ₀=0.

Имеем l ₁≠0, так как по 2.3.1 в точке условного экстремума X * не все l ₀ и l ₁ равны нулю. Тогда x ₁=0 и x ₂=0. Так как l ₁≠0, то из последнего уравнения получаем =0, которому не удовлетворяет X *=(0, 0). Значит, условно-стационарных точек при l ₀=0 нет.

б) l ₀=1.

(2.2.3) Û

Из первых двух уравнений системы следует l ₁≠0 и тогда из последнего уравненя получаем =0. Как мы видели при решении примера I из 1.2, ()=(2, 2, ), ()=(-2, -2, ) - две условно-стационарные точки.

4. Для условно стационарных точек X *, полученных при l ₀=1, проверим достаточные условия экстремума. Для обеих точек ограничение является активным, при этом число ограничений l =1< n =2. Поэтому достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим достаточные условия второго порядка. Для этого:

1) запишем выражение для второго дифференциала классической функции Лагранже в точках () и (). Имеем

= =2 l ₁, = =0.

Поэтому d ² L =2 l ₁ d +2 l ₁ d .

2) Запишем условия, накладываемые на первые дифференциалы активных ограничений: dj =2 x ₁ dx ₁+2 x ₂ dx ₂=0, откуда dx ₂=- dx ₁ и d ² L =4 l ₁ d . Тогда

d ² L ()=- d <0, при l ₁= <0 и

d ² L ()= d >0 при l ₁= >0.

Получаем, что d ² L ()<0 для всех ненулевых dx Î R ² таких, что dj ()=0, = >0, и d ² L ()>0 для всех ненулевых dx Î R ² таких, что dj ()=0, =- >0. Поэтому - точка регулярного условного максимума, - точка регулярного условного минимума.

5. Вычислим значения функции в точках условного экстремума:

f ()=2+2=4, f ()=-2-2=-4.

Ответ: =(2, 2) - точка регулярного условного максимума, f ()=4, =(-2, -2) - точка регулярного условного локального, f ()=-4.

Пример II. Исследовать на условный экстремум функцию:

f (X)= x ₁ x ₂®extr

.

Решение. Имеем j ₁(Х)= j (Х)=

1. Составим функцию Лагранжа:

L (X, l ₀, L)= l ₀(x ₁ x ₂)+ l ₁().

2. Составим систему (2.3.1). Имеем = l ₀ x ₂+2 l ₁ x ₁, = l ₀ x ₁+2 l ₁ x ₂. Поэтому

3. a) l ₀=0. Так как l ₁≠0, то x ₁=0 и x ₂=0, и , то есть условно-стационарных точек при l ₀=0 нет.

б) l ₀=1. Система принимает вид

Пусть l ₁≠0. Тогда из первых двух и последнего уравнения системы получаем две условно-стационарные точки ()=(2, 2, ), ()=(-2, -2, ).

Если l ₁=0, то ()=(0, 0, 0) - третья условно-стационарная точка.

4. Проверим достаточные условия экстремума в найденных точках.

Имеем

= =2 l ₁, = =1.

Поэтому d ² L =2 l ₁ d +2 dx ₁ dx ₂+2 l ₁ d .

а) В точке X *=(0, 0) ограничение не является активным, так как j (X *)=-8<0. Поэтому достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим необходимые условия второго порядка. Так как dj =2 x ₁ dx ₁+2 x ₂ dx ₂º0, то dx ₁ и dx ₂ независимы друг от друга, и d ² L может быть как >0, так и <0, то есть необходимое условие второго порядка не выполнено. Таким образом, X *=(0, 0) не является точкой условного экстремума.

б) В точках () и () ограничение активно, но l < n и достаточное условие первого порядка не выполнено. Проверим условие второго порядка. Имеем dx ₂=- dx ₁, и d ² L =4 l ₁ d -2 d . Тогда

d ² L ()= d ² L ()=-4 d <0 при l ₁= <0.

Поэтому обе точки и - точки регулярного условного максимума.

5. Вычислим значение функции в точках условного максимума:

f ()= f ()=(±2)×(±2)=4.

Ответ: =(2, 2) и =(-2, -2) - точки регулярного условного локального максимума, f ()= f ()=4.

Дата добавления: 2015-07-20