Длина вектора. Неравенство Коши

Определение. Длиной (модулем) вектора называется выражение , т.е. квадратный корень из скалярного произведения обозначается через .

Так как по третьей аксиоме , то квадратный корень существует.

Теорема 8.1. Модуль скалярного произведения двух векторов евклидова пространства не превышает произведения модулей этих векторов, т. е. выполняется неравенство Коши:

.

Данную теорему принимаем без доказательства.

В пространстве скалярное произведение двух векторов определяется равенством:

= ,

т.е. скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат векторов. Таким образом, равенство, которое доказывали в случае двухмерной системы координат, становится определением в пространстве .

Для пространства неравенство Коши имеет вид:

.

Доказательство. Пусть n = 2. От неравенства

переходим к равносильным неравенствам:

,

,

,

, .

Последнее неравенство очевидно. Для n > 2 неравенство Коши можно доказать методом математической индукции.

Теорема 8.2. Длина суммы двух векторов не превышает суммы длин этих векторов, т.е:

.

Дата добавления: 2015-07-26