Достаточные условия существования экстремума

Выполнение в некоторой точке необходимого условия существования экстремума вовсе не гарантирует наличия там экстремума. В качестве примера можно взять дифференцируемую всюду функцию . Обе ее частные производные и сама функция обращаются в нуль в точке . Однако в любой окрестности этой точки есть как положительные (большие ), так и отрицательные (меньшие ) значения этой функции. Следовательно, в этой точке, по определению, экстремума не наблюдается. Поэтому необходимо знать достаточные условия, при которых точка, подозрительная на экстремум, является точкой экстремума исследуемой функции.

Рассмотрим случай функции двух переменных. Предположим, что функция определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в окрестности некоторой точки , которая является стационарной точкой функции , то есть удовлетворяет условиям

, .

Введем обозначения:

Теорема (достаточные условия существования экстремума). Пусть функция удовлетворяет вышеприведенным условиям, а именно: дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки и дважды дифференцируема в самой точке . Тогда, если

1. , то в исследуемой точке функция имеет локальный экстремум,

2. то экстремума нет,

3. то требуется дополнительное исследование.

В случае если то функция в точке достигает

локального максимума при и

локального минимума при .

В общем случае, для функции достаточным условием существования в точке локального минимума (максимума) является положительная (отрицательная) определённость второго дифференциала.

Иными словами, справедливо следующее утверждение.

Теорема. Если в точке для функции

для любых не равных одновременно нулю , то в этой точке функция имеет минимум (аналогично максимум, если ).

Пример 18. Найти точки локального экстремума функции

Решение. Найдем частные производные функции и приравниваем их к нулю:

Решая эту систему, находим две точки возможного экстремума:

Найдем частные производные второго порядка для данной функции:

В первой стационарной точке , следовательно, и Поэтому для этой точки требуется дополнительное исследование. Значение функции в этой точке равно нулю: Далее,

при а

при

Следовательно, в любой окрестности точки функция принимает значения как большие , так и меньшие , и, значит, в точке функция , по определению, не имеет локального экстремума.

Во второй стационарной точке следовательно, Поэтому, так как то в точке функция имеет локальный максимум:

.

Дата добавления: 2015-07-20