Локальный экстремум функции. Необходимое условие существования экстремума

Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения функций

Локальный экстремум функции. Необходимое условие существования экстремума

Говорят, что функция имеет во внутренней точке области D локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , для каждой точки которой выполняется неравенство

Если функция имеет в точке локальный максимум или локальный минимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум (или просто экстремум).

Теорема (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то каждая частная производная первого порядка от функции в этой точке обращается в нуль.

Точки, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль, называются стационарными точками функции . Координаты этих точек можно найти, решив систему из уравнений

.

Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции коротко можно сформулировать и так:

.

Встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или не существуют (в то время как остальные равны нулю). Такие точки называются критическими точками функции. Эти точки тоже нужно рассматривать в качестве «подозрительных» на экстремум, как и стационарные.

В случае функции двух переменных необходимое условие экстремума, а именно равенство нулю частных производных (дифференциала) в точке экстремума, имеет геометрическую интерпретацию: касательная плоскость к поверхности в точке экстремума должна быть параллельна плоскости .

Дата добавления: 2015-07-20