Условный экстремум при ограничениях типа равенств

В этом случае утверждения, 2.1.1, 2.1.2, 2.1.4 принимают следующую редакцию, соответственно:

2.2.1. Пусть X *Î R ^п - точка локального минимума (максимума) функции f (X) на множестве М ={ X | j_i (X)=0, i =1, 2, …, m }. Тогда существуют числа , , …, , не равные одновременно нулю и такие, что выполняются условия:

условия стационарности обобщённой функции Лагранжа по X:

=0, j =1, 2, …, n; (2.2.1.a)

условие допустимости решения:

j_i (X *)=0, i =1, 2, …, n; (2.2.1.б)

Если при этом градиенты Ñ j ₁(X *), Ñ j ₂(X *), …, Ñ j_m (X *) в точке X * линейно независимы, то ≠0.

При решении задач, как правило, рассматривают два случая: =0 и ≠0. В последнем случае в системе (2.2.1.а) полагают =1, при котором функция Лагранжа становится классической, система (2.2.1) принимает вид

=0, j =1, 2, …, n, (2.2.2.a)

j_i (X *)=0, i =1, 2, …, n. (2.2.2.б)

2.2.2. Пусть X *Î R ^п - регулярная точка локального минимума (максимума) функции f (X) на множестве М и имеется решение (X *, L ^*) системы (2.2.1). Тогда второй дифференциал классической функции Лагранжа, вычисленный в точке (X *, L ^*), неотрицателен (неположителен):

d ² L (X *, L ^*)³0 (d ² L (X *, L ^*)£0) (2.2.3.а)

для всех таких dx Î R ^п, что

dj_i (X *)= =0 (i =1, 2, …, m). (2.2.3.б)

2.2.3. Пусть (X *, L ^*) - точка, которая является решением системы (2.2.1). Если в этой точке полный дифференциал второго порядка классической функции Лагранжа, положителен (отрицателен)

d ² L (X *, L ^*)>0 (d ² L (X *, L ^*)<0)

для всех таких dx Î R ^п, что

dj_i (X *)= =0 (i =1, 2, …, m),

то точка X * является точкой локального минимума (максимума) задачи.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию на условный экстремум с ограничениями типа равенства (то есть найти для функции точки условных экстремумов, определить их характер и вычислить значения функции в этих точках), достаточно:

1. Составить обобщённую функцию Лагранжа:

L (X, l ₀, L)= l ₀ f (X)+

2. Составить систему:

(2.2.1)

3. Решить систему (1.2.1) для двух случаев:

а) l ₀=0;

б) l ₀=1.

В результате находятся условно-стационарные точки X *.

4. Для условно стационарных точек X *, полученных в пункте 3, проверить достаточные условия экстремума. Для этого можно, в силу Замечания в пункте 2.1, применить критерии типа Сильвестра к функции d ² L (X *, L ^*), или проверить это непосредственно, выразив из системы (2.2.3.б) любые m дифференциалов через остальные n - m и подставив их в d ² L (X *, L ^*). Если d ² L (X *, L ^*)>0 при ненулевых dx, то точка X * является точкой условного минимума, а если d ² L (X *, L ^*)<0, то - точкой условного максимума. Если достаточные условия не выполняются, то проверяются необходимые условия второго порядка. Если они выполняются, то требуется дополнительные исследования; если нет, то точка X * не является точкой условного экстремума.

5. Вычислить значения функции в точках условного экстремума.

При проверке достаточных условий в условно-стационарных точках (при l ₀=1) более эффективно воспользоваться непосредственной проверкой.

Пример I. Исследовать на условный экстремум функцию:

f (X)= x ₁+ x ₂®extr

.

Решение. В нашем случае j ₁(Х)= j (Х)=

1. Составим обобщённую функцию Лагранжа:

L (X, l ₀, L)= l ₀(x ₁+ x ₂)+ l ₁().

2. Составим систему (2.2.1). Имеем = l ₀+2 l ₁ x ₁, = l ₀+2 l ₁ x ₂. Поэтому

(2.2.4)

3. Решаем систему для двух случаев:

а) l ₀=0.

Имеем l ₁≠0, так как по 2.2.1 в точке локального экстремума X * не все l ₀ и l ₁ равны нулю. Тогда x ₁=0 и x ₂=0. Но тогда j (X *)≠0, то есть X *=(0, 0) не удовлетворяет ограничению задачи. Значит, условно-стационарных точек при l ₀=0 нет.

б) l ₀=1.

(2.2.4) Û

Из первых двух уравнений системы получаем x ₁= , x ₂= , подставляя которые в третье, имеем =8 Û = Û l ₁=± . Отсюда x ₁= 2, x ₂= 2, то есть (X ₁, L ₁)=(2, 2, ), (X ₂, L ₂)=(-2, -2, ) - две условно-стационарные точки.

4. Для условно стационарных точек X *, полученных при l ₀=1, проверим достаточные условия экстремума. Для этого исследуем полный дифференциал второго порядка d ² L (X *, L *) классической функции Лагранжа как квадратичную форму от dx ₁, dx ₂.

Имеем

= =2 l ₁, = =0.

Поэтому d ² L =2 l ₁ d +2 l ₁ d .

Способ 1. Имеем H (X)= , для которого угловые миноры равны D ₁=2 l ₁ и D ₂=4 . При l ₁=- , то есть для точки X ₁=(2, 2), имеем D ₁=- <0 и D ₂= >0. Это означает, что в точке (X ₁, L ₁)=(2, 2, - ) d ² L отрицательно определена, и X ₁ - точка регулярного условного локального максимума. При l ₁= имеем D ₁= >0 и D ₂= >0, и в точке (X ₂, L ₂)=(-2, -2, ) d ² L положительно определена, и X ₂ - точка регулярного условного локального минимума.

Способ 2. Имеем dj =2 x ₁ dx ₁+2 x ₂ dx ₂. Выразим из dj =0 dx ₂ через dx ₁: dx ₂=- dx ₁ и подставим его в d ² L: d ² L =2 l ₁ d +2 l ₁(- dx ₁)²=4 l ₁ d , то есть d ² L =4 l ₁ d . Тогда

d ² L (X ₁, L ₁)=- d <0 при dx ₁≠0 и

d ² L (X ₂, L ₂)= d >0 при dx ₁≠0.

Поэтому X ₁ - точка регулярного условного локального максимума, X ₂ - точка регулярного условного локального минимума.

5. Вычислим значения функции в точках условного экстремума:

f (X ₁)=2+2=4, f (X ₂)=-2-2=-4.

Ответ: X ₁=(2, 2) - точка регулярного условного локального максимума, f (X ₁)=4, X ₂=(-2, -2) - точка регулярного условного локального минимума, f (X ₂)=-4.

Пример II. Исследовать на условный экстремум функцию:

f (X)= x ₁ x ₂®extr

.

Решение. Имеем j ₁(Х)= j (Х)= Так как Ñ j (Х)=(2 x ₁, 2 x ₂)≠0 для всех х Î M, то условие регулярности выполнено.

1. Составим функцию Лагранжа:

L (X, L)=(x ₁ x ₂)+ l ₁().

2. Составим систему (1.2.1). Имеем = x ₂+2 l ₁ x ₁, = x ₁+2 l ₁ x ₂. Поэтому

3. Решением системы являются четыре точки: (X ₁, L ₁)=(2, 2, ), (X2 ₁, L ₂=(-2, -2, ).

4. Проверим достаточные условия экстремума в найденных точках.

Имеем

= =2 l ₁, = =1.

Поэтому d ² L =2 l ₁ d +2 dx ₁ dx ₂+2 l ₁ d . Так как dj =2 x ₁ dx ₁+2 x ₂ dx ₂, то dx ₂=- dx ₁, и d ² L =4 l ₁ d -2 d . Тогда

d ² L ()= d ² L ()=-4 d <0 при dx ₁≠0

Поэтому обе точки и - точки регулярного условного локального максимума.

5. Вычислим значение функции в точках условного максимума:

f ()= f ()=(±2)×(±2)=4.

Ответ: =(2, 2) и =(-2, -2) - точки регулярного условного локального максимума, f ()= f ()=4.

Дата добавления: 2015-07-20