Теорема 21.3.

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Замечание 4. Обратное утверждение неверно!

Обозначение: .

Итак, или

. (21.4)

21.3. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала

Пусть функция определена на интервале , причем точки , принадлежат графику функции, тогда, МР – секущая.

.

Если существует предел , то прямую с угловым коэффициентом называют предельным положением секущей MP при (или касательной) (MS). (То есть ).

Из .

Геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке .

– уравнение касательной.

Физический смысл производной.

Пусть – закон движения точки; тогда за время будет пройден путь . За время : .

Если , , то – средняя скорость за время .

Таким образом, – мгновенная скорость точки в момент времени .

Геометрический смысл дифференциала.

, .

Дифференциал функции в данной точке равен приращению ординаты касательной в соответствующей точке графика.

Физический смысл дифференциала.

Если производная позволяет оценить скорость изменения некоторой величины, то равен расстоянию, которое прошла бы точка за ,

если бы двигалась равномерно со скоростью, равной мгновенной скорости момент .

---

Дата добавления: 2015-07-20