Процесс чистого размножения

Простейшее обобщение пуассоновского процесса получается при предположении, что вероятности скачков могут зависеть от текущего состояния системы. Это приводит нас к следующим требованиям.

Постулаты. (i) Непосредственный переход из состояния возможен только в состояние .(ii) Если в момент времени система находится в состоянии , то (условная)вероятность одного скачка в последующем коротком интервале времени между и равна тогда как (условная) вероятность более чем одного скачка в этом интервале есть .

Отличительная черта этого предположения заключается в том, что время, которое система проводит в любом конкретном состоянии, не играет 6никако роли; возможны внезапные изменения состояния, однако, пока система находится в одном состоянии, она не стареет.

Пусть снова будет вероятностью того, что в момент времени система находится в состоянии . Эти функции удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, которую можно вывести при помощи рассуждений предыдущего параграфа с тем лишь изменением, что (5) в предыдущем параграфе заменяется на

. (1)

Таким образом мы получим основную систему дифференциальных уравнений

(2)

В пуассоновском процессе было естественно предполагать, что в момент времени 0 система выходит из начального состояния . Теперь мы можем допустить более общий случай, когда система выходит из произвольного начального состояния . Тогда получаем, что

(3)

Эти начальные условия единственным образом определяют решение системы (2). (В частности, ) Явные формулы для выводились независимо многими авторами, однако для нас они не представляют интереса.

Пример. Радиоактивный распад. В результате испускания частиц или -лучей радиоактивный атом, скажем урана, может превратиться в атом другого вида. Каждый вид представляет собой возможное состояние, и, когда процесс протекает, мы получаем последовательность переходов . Согласно принятым физическим теориям, вероятность перехода остается неизменной, пока атом находится в состоянии , и эта гипотеза находит выражение в нашем исходном предположении. Стало быть, этот процесс описывается дифференциальными уравнениями (2) (факт, хорошо известный физикам). Если – конечное состояние, из которого невозможны никакие другие переходы, то и система (2) обрывается при . (При мы автоматически получаем ).

Дата добавления: 2015-07-26