Пуассоновский процесс

Пуассоновский процесс можно рассматривать с различных точек зрения, и здесь мы рассмотрим его в качестве прототипа всех процессов из этой главы. Последующий вывод распределения Пуассона наилучшим образом подходит для наших обобщений, однако он никоим образом не является лучшим и в других контекстах.

В качестве эмпирических предпосылок возьмем такие случайные события, как распад частиц, поступающие телефонные вызовы, расщепление хромосом под воздействием вредной радиации. Предполагается, что все наблюдаемые события однотипны, и мы интересуемся полным числом событий, происшедших в течение произвольного интервала времени длины . Каждое событие представляется точкой на оси времени, и поэтому мы в действительности рассматриваем некоторые случайные размещения точек на прямой. Лежащие в основе нашей математической модели физические предположения состоят в том, что силы и воздействия, управляемые процессом, остаются постоянными, так, что вероятность любого отдельного события одна и та же для всех интервалов времени продолжительности и не зависит от прошлого развития процесса. Математически это означает, что наш процесс является однородным по времени марковским процессом в смысле, описанном в предыдущем параграфе. Как уже говорилось, мы не стремимся к полной теории таких процессов, а удовольствуемся выводом основных вероятностей

. (1)

Они могут быть выведены из простых постулатов без обращения к более глубоким теоретическим соображениям.

Чтобы ввести понятия, подходящие и для других процессов из этой главы, мы выберем начало отсчета времени и будем говорить, что в момент времени система находится в состоянии , если между 0 и произошло ровно скачков функции . Тогда равняется вероятности состояния в момент , однако может быть также описана как вероятность перехода из произвольного состояния в произвольный момент времени в состояние к моменту . Теперь наше нестрогое описание процесса мы преобразуем в свойства вероятностей .

Разобьем временной интервал единичной длины на подинтервалов длины . Вероятность скачка внутри любого из этих подинтервалов равна , и поэтому математическое ожидание числа интервалов, содержащих скачки, равно . Интуитивно представляется, что при это число должно стремиться к математическому ожиданию числа скачков внутри произвольного интервала времени единичной длины, и поэтому естественно предположить, что существует число такое, что

. (2)

Физическая картина процесса требует также, чтобы скачок обязательно приводил из состояния в соседнее состояние , и отсюда вытекает, что математическое ожидание числа подынтервалов (длины ), содержащих более чем один скачок, должно стремиться к 0. Поэтому мы должны предположить, что при

. (3)

Чтобы окончательно сформулировать постулаты, запишем (2) в виде , где (как обычно) обозначает величину, по порядку меньшую чем . (Точнее говоря, означает такую величину, что при ). С учетом этого (3) эквивалентно соотношению . Сформулируем теперь следующие постулаты.

Постулаты пуассоновского процесса. Процесс начинается в момент времени 0 в состоянии (). Непосредственный переход из состояния возможен только в состояние (). Каково бы ни было состояние процесса в момент времени , (условная) вероятность скачка внутри последующего короткого интервала времени между и равна , тогда как (условная) вероятность наличия в нем более чем одного скачка есть .

Как было объяснено в предыдущем параграфе, эти условия слабее нашего исходного предположения об отсутствии влияния прошлой истории процесса на его будущую эволюцию. С другой стороны, наши постулаты носят чисто аналитический характер, и их достаточно, чтобы показать, что мы должны иметь

. (4)

Для доказательства этого возьмем сперва и рассмотрим событие, состоящее в том, что в момент времени система находится в состоянии . Вероятность этого события равна , и осуществиться оно может тремя взаимоисключающими способами. Во-первых, в момент времени система может находиться в состоянии , и между и не произойдет ни одного скачка. Вероятность этой возможности равна

.

Вторая возможность состоит в том, что в момент времени система находится в состоянии и между и происходит в точности один скачок. Вероятность этого равна . Любое другое состояние в момент более одного скачка в интервале между и , и вероятность подобного события есть . Следовательно, мы должны иметь

, (5)

а это соотношение можно переписать в виде

. (6)

При последний член стремится к нулю; следовательно, предел левой части существует и равен

. (7)

При вторая и третья из упомянутых выше возможностей не возникают, и поэтому (5) следует заменить на

, (8)

что приводит к

. (9)

Отсюда и из получаем . Подставляя это значение в (7) при , мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение для . Поскольку , мы легко находим, что , а это полностью согласуется с (4). Продолжая таким же образом, мы последовательно находим все члены (4).

Входящий поток заявок. Заявки выбираются из некоторой совокупности или источника заявок. Эта совокупность может быть конечной или бесконечной. В последнем случае математическая модель СМО будет более простой. Поэтому предположение о бесконечности источника заявок часто делается даже в случае конечного, но достаточно большого числа заявок в исходной совокупности.

Другой важной характеристикой входящего потока заявок является статистическая картина поступления заявок во времени. Самую простую статистическую картину дает регулярный входящий поток, когда заявки поступают в равноотстоящие друг от друга моменты времени. Если интервал времени между поступлениями заявок равен , то интенсивность поступления заявок (в единицу времени) есть .

Предположение о регулярности входящего потока не только не соответствует большинству реальных приложений, но и не является наиболее простым с точки зрения получения аналитических результатов. Простейшим с аналитической точки зрения и соответствующим многим приложениям, является предположение о совершенно случайной картине поступления заявок, описываемой пуассоновским процессом.

Более точно, входящим потоком заявок называется неубывающий случайный процесс , принимающий целочисленные значения, равные числу заявок, поступивших за промежуток времени . Пуассоновский случайный процесс получается при следующих предположениях. Пусть вероятность поступления одной заявки в течение любого малого интервала времени равна , где – интенсивность поступления заявок (т.е. среднее число заявок, поступающих за единицу времени) и вероятность поступления за этот интервал двух или более заявок составляет .

Символ используется, как обычно, для обозначения величины, стремящейся к нулю быстрее, чем , т.е. . В частности .

Отсюда вероятность отсутствия новых заявок в интервале времени длины равна . Говоря о совершенно случайной картине поступления заявок, мы имели ввиду следующее свойство: события, заключающиеся в поступлении или непоступлении заявки на интервале времени длины , статистически независимы для любых двух непересекающихся интервалов. При сделанных предположениях поступление заявки на интервале времени длины можно рассматривать как “успех” в схеме испытаний Бернулли число поступивших заявок за интервал времени , где , приближенно равно числу успехов в испытаниях Бернулли, которое имеет биномиальное распределение:

.

Полагая , а , и сохраняя при этом величину постоянной, получим, что число поступивших заявок на интервале времени имеет распределение вероятностей

, которое называется распределение Пуассона.

В самом деле, пусть – вероятность того, что испытаний Бернулли с вероятностями успеха и неудачи закончились успехами и неудачами. Тогда

. (*)

В частности, есть вероятность того, что успехов не будет, а вероятность того, что будет хотя бы один успех, равна . Будем рассматривать как постоянную и обозначим число успехов в испытаниях через ; тогда . Согласно общей терминологии есть случайная величина, а функция (*) является распределением этой случайной величины; будем называть это распределение биномиальным.

Из (*) очевидно, что

(**)

Во многих приложениях мы имеем дело с испытаниями Бернулли, в которых относительно велико и относительно мало, а произведение и не мало и не велико. В таких случаях удобно использовать для предложенное Пуассоном приближение, вывод которого мы начинаем. Для имеем

.

Переходя к натуральным логарифмам и используя разложение Тейлора в окрестности нулевой точки

,

находим

,

так, что при больших

,

где знак означает приближенное равенство (в данном случае с точностью до членов порядка ). Далее из (**) видно, что для произвольного фиксированного и достаточно больших имеем

(здесь постоянная величина ).

Отсюда последовательно заключаем, что

,

,

и в общем случае по индукции получаем

.

Это и есть классическое пуассоновское приближение для биномиального распределения.

Дата добавления: 2015-07-26