N-канальная СМО с неограниченной очередью

Нумерация состояний – опять по числу заявок, находящихся в системе:

– в СМО заявок нет (все каналы свободны),

– занят один канал, остальные свободны,

– занято два канала, остальные свободны,

…

– занято k каналов, остальные свободны,

…

– заняты все n каналов (очереди нет),

– заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди,

…

– заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди,

…

Граф состояний показан на рисунке.

Это есть схема размножения и гибели, но с бесконечным числом состояний. Сообщим без доказательства естественное условие существования финальных вероятностей: . Если , очередь растет до бесконечности.

Предположим, что условие выполнено, и финальные вероятности существуют. Применяя все те же формулы для схемы размножения и гибели, найдем эти финальные вероятности. В выражении для будет стоять ряд членов, содержащих факториалы, плюс сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем .Суммируя ее найдем

.

Теперь найдем характеристики эффективности СМО. Из них легче всего находится среднее число занятых каналов (это вообще справедливо для любой СМО с неограниченной очередью). Найдем среднее число заявок в системе и среднее число заявок в очереди . Из них легче вычислить второе, по формуле ; выполняя преобразования с дифференцированием ряда, получим:

.

В самом деле

.

Введем обозначение , тогда

Прибавляя к нему среднее число заявок под обслуживанием (оно же – среднее число занятых каналов) , получим:

.

Деля выражения для и на , по формуле Литтла получим средние времена пребывания заявки в очереди и системе:

, .

Дата добавления: 2015-07-26