Главные направления. Главные диаметры.

Определение. Направление называется главным относительно линии второго порядка, если оно сопряжено с перпендикулярным направлением.

Раз речь идёт о перпендикулярности, то линия должна быть задана своим уравнением вида (1) в ПДСК!

Критерий главного направления относительно линии второго порядка:

Ненулевой вектор () задаёт главное направление относительно линии второго порядка, заданной в уравнением (1),

(9).

Такое аналитическое условие получается исходя из двух фактов:

1) () (- ); 2) условие сопряжённости двух направлений.

Ясно, что если задаёт главное направление относительно линии второго порядка, то и перпендикулярный ему вектор также задаёт главное направление относительно этой линии.

Теорема. Относительно любой линии второго порядка, отличной от окружности, существует два и только два главных направления. Относительно окружности любое направление является главным.

Определение. Диаметр линии второго порядка называется главным, если он перпендикулярен сопряженным хордам.

Задания:

1. Для эллипса, гиперболы и параболы, заданных каноническими уравнениями, найдите главные направления.

(Оси координат имеют главные направления!)

2. Может ли асимптотическое направление совпадать с главным?

(Да, для нецентральных линий это так: легко показать, используя критерий асимптотического направления нецентральной линии.)

3. Если d – главный диаметр, какому направлению он сопряжён?

(Главному, но не асимптотическому.)

4. Верно ли, что главный диаметр является осью симметрии линии второго порядка?

(Верно, это следует из определения).

Верно ли, что ось симметрии всегда является главным диаметром?

(Нет, для пары параллельных прямых это не так.)

Почему любая линия второго порядка имеет хотя бы одну ось симметрии?

5. Как написать уравнение главного диаметра?

(Найти главные, но не асимптотические направления; записать уравнения диаметров, сопряжённых этим направлениям.)

Заполняем таблицу!

ЗАДАЧИ.

1.(946) Для линии определите, сколько существует главных диаметров. Напишите уравнения главных диаметров.

(Линия параболического типа, поэтому существует один главный диаметр с уравнением 2х – 4у – 5 = 0)

2.Найдите ось и вершину параболы .

(4х + 4у + 3 = 0, А())

Домашнее задание.

[1] №№ 946 (в, г), 947 (в, г), 949, 952, 954.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ

Дата добавления: 2015-07-26