Центр линии второго порядка

Определение. Точка С называется центром линии второго порядка, если она является центром симметрии этой линии. Это означает, что для каждой точки М, принадлежащей линии , симметричная ей относительно С точка также принадлежит линии .

Теорема. Пусть - линия второго порядка, заданная уравнением (1).
Точка С () – центр линии тогда и только тогда, когда её

координаты удовлетворяют системе

(2)

где

Если система (2) имеет единственное решение, то есть линия имеет единственный центр, линия называется центральной.

В остальных случаях (если система (2) не имеет решений (то есть линия не имеет центров), или имеет бесконечно много решений (то есть линия имеет бесконечное множество центров)), линия называется нецентральной.

Если каждое уравнение системы (2) рассматривать как уравнение прямой на плоскости, то становится очевидным (если забыли известные факты алгебры), что:

система (2) имеет единственное решение прямые пересекаются в одной точке) следовательно, центральными являются линии эллиптического и гиперболического типа;

система (2) не имеет решения прямые параллельны) ;

система (2) имеет бесконечно много решений прямые совпадают) .

Для двух последних случаев =0, следовательно, нецентральными являются линии параболического типа.

Точка, принадлежащая линии второго порядка, называется особой точкой линии , если она является центром этой линии. В противном случае точка называется обыкновенной.

Рассмотрите рисунки линий второго порядка и выясните, какие линии имеют особые точки.

Дата добавления: 2015-07-26