Задачи.

1. Найдите центр для каждой из линий. Выясните вид каждой линии.

а) 3

Решение. Чтобы не делать «обидных» ошибок, подпишите под каждым коэффициентом в уравнении его обозначение: , , и т.д.

Следите за знаками и не забывайте про «двойки». В данной задаче

=1, = , =1, , , .

Обязательно вычисляйте определитель так как выяснение типа влечёт за собой, как мы узнаем, много информации:

– гиперболического типа существует единственный центр. Найдём центр, для этого составим систему вида (2):

Решая систему, находим единственное решение С(3, -2).

Чтобы определить вид линии, выясним, принадлежит ли центр С этой линии. Для этого подставим найденные координаты в уравнение линии .

Вычисляя, получаем, что координаты не удовлетворяют уравнению линии, то есть С не принадлежит ей. Значит, данная линия – гипербола.

б) s w:val="28"/></w:rPr><m:t>-3=0</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Решение. 1 - параболического типа либо не существует центра, либо существует бесконечно много центров.

Составим систему вида (2):

или
.

Очевидно, существует бесконечно много решений, все они описываются уравнением . Это означает, что существует прямая центров с уравнением .

Выясним вид линии. Для этого найдём один из центров, например С(0,0), и выясним, принадлежит ли он линии s w:val="28"/></w:rPr><m:t>-3=0</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> . Подставляем координаты точки С в это уравнение и определяем, что С не принадлежит линии . Значит, данная линия второго порядка представляет собой пару параллельных прямых. Мнимых или вещественных? Для ответа на этот вопрос попробуем найти вещественную точку, принадлежащую этой линии.

В данном случае это несложно сделать подбором: А . Итак, окончательно получаем, что данная линия – пара вещественных параллельных прямых.

Подумайте, как быть, если не удаётся подобрать вещественную точку, принадлежащую линии.

2. . При каких и :

а) - центральная линия;

б) имеет прямую центров;

в) не имеет центров.

Решение: а) - центральная линия 9.

б) имеет прямую центров 0 и

=9 и =9 и b=9.

в) не имеет центров 0 и =9 и b 9.

3. Как выглядит общее уравнение линии второго порядка, если ось Ох является прямой её центров?

Решение. Пусть .

Так как существует прямая центров, то =0.

Любая точка М (х, 0) является центром, поэтому

.

Точка О (0,0) – тоже центр, значит . Но тогда

.

Так как - линия второго порядка, то

Окончательно получаем уравнение линии .

4. Составьте уравнение линии второго порядка, проходящей через точки О (0, 0), А (0, 1), В (1, 0), если она симметрична относительно точки С (2, 3).

Решение. Пусть .

О

А +

В

С – центр 2 +

2 + 3 + .

Будем решать систему из пяти уравнений, в которой шесть неизвестных.

Пусть =0. Тогда из этих уравнений получаем, что и = =0.

Но тогда - не линия второго порядка. Значит, 0. Удобно (в данном случае) считать = 2. Решаем систему и находим уравнение

.

Дата добавления: 2015-07-26